Tangenssatsen

Tangenssatsen är inom trigonometrin en sats som anger sambandet mellan två sidor och deras motstående vinklar för en godtycklig triangel:

$\frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan (\frac{1}{2}(\alpha - \beta))}{\tan (\frac{1}{2}(\alpha + \beta))}$

Ovanstående samband gäller för godtyckliga sidor $a$ och $b$ samt godtyckliga vinklar $\alpha$ och $\beta$.

Bevis

Enligt sinussatsen gäller

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}$

Låt

$d = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta},$

så att

$a = d \sin\alpha \text{ och }b = d \sin\beta \,$

Av detta följer

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{d \sin \alpha - d\sin\beta}{d\sin\alpha + d\sin\beta} = \frac{\sin \alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}.$

Genom att använda den trigonometriska identiteten för summa till produkt

$\sin(\alpha) \pm \sin(\beta) = 2 \sin\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha \mp \beta}{2} \right), \;$

erhålls

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{2\sin\tfrac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)\cos\tfrac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)}{2\sin\tfrac{1}{2}\left(\alpha+\beta \right)\cos\tfrac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}$

Se även

• Areasatsen
• Sinussatsen
• Cosinussatsen