Tautologi (logik)

Härledningsbegrepp
Medför Bevis Giltighet Sundhet Konsekvens Fullständig - Fullständighet Teorem Tautologi Kontradiktion Konträra satser Härledbar
Närliggande begrepp
Implikation Logisk sanning Sanning Motsägelse

Tautologi kallas en sats inom logiken som är sann oberoende av betydelsen av de i satsen ingående orden. Ludvig Wittgenstein introducerade begreppet 1921 i verket Tractatus Logico-Philosophicus, och menade med detta en sanning som inte utsäger någonting om verkligheten och som i en axiomatisk teori inte är någonting annat än transformationer av godtyckligt antagna språkliga regler.

Tautologi i formella system

Tautologi är inom satslogiken en logisk utsaga $\varphi$ som är sann under varje värdering av den, det vill säga oavsett sanningsvärdet på de atomära satser som ingår i $\varphi$. En tautologi är sann för varje tillordning av sanningsvärden till dess satssymboler. Begreppet kan utsträckas till predikatlogiken genom att man med en predikatlogisk tautologi avser en formel som motsvaras av en satslogisk tautologi, men där satssymboler har ersatts med predikatlogiska formler (en formel per satssymbol). Om en sats $\varphi$ är en tautologi skrivs detta i modern symbolisk logik som $\models\varphi$.

Exempel på tautologier

De satslogiska konnektiven har följande proritetsordning: $\neg , \land , \lor , \rightarrow , \leftrightarrow.$

Formel	Naturligt språk	Kommentar
$\lnot \lnot A \leftrightarrow A$	Negering av icke-A är detsamma som A	Reduktion av dubbel negation
$A \lor \lnot A$	A eller icke-A	Formeln är ett sätt att uttrycka lagen om det uteslutna tredje.
$A \to B \leftrightarrow \lnot B \to \lnot A$	Om A implicerar B så implicerar icke-B icke-A, och omvänt.	Formeln uttrycker kontraposition
$(\lnot A \to B) \land (\lnot A \to \lnot B) \to A$	Om icke-A implicerar både B och dess negation icke-B, så följer att icke-A är falskt, och således att A är sant.	Formeln visar den princip som också kallas reductio ad absurdum.
$\lnot(A \land B) \leftrightarrow \lnot A \lor \lnot B$	Om inte både A och B, så icke-A eller icke-B, och omvänt.	Formeln uttrycker den ena av de Morgans lagar.
$(A \to B) \land (B \to C) \to (A \to C)$	Om A implicerar B och B implicerar C, så implicerar A, C.	Formeln är ett exempel på en syllogism.
$(A \lor B) \land (A \to C) \land (B \to C) \to C$	Om åtminstone A eller B är sant, och om båda implicerar C, så måste C också vara sant.	Formeln är ett exempel på uteslutningsmetoden.

Referenser

Källor

• Stephen Cole Kleene, Mathematical Logic, Wiley and Sons, New York 1967.
• Lübcke, Poul, red (1988). Filosofilexikonet. Stockholm. Sid. 539-540. ISBN 91-37-10062-9 
• Prawitz, Dag (1991). ABC i symbolisk logik: logikens språk och grundbegrepp. Stockholm: Thales. Sid. 62. ISBN 91-87172-44-5 

Se även

• satslogik
• boolesk algebra
• deduktionsteoremet
• reductio ad absurdum
• härledningsbegrepp
• kontradiktion
• teorem