Tautologi (logik)

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
För andra betydelser, se tautologi.
Deduction symbols2.gif
Deduktion
Tautologi | Kontradiktion
Sann | Giltig | Sund
Modallogik
Logiskt sann | Logiskt omöjlig
Nödvändig | Möjlig
Härledningsbegrepp
Närliggande begrepp

Tautologi kallas en sats inom logiken, som är sann oberoende av betydelsen av de i satsen ingående orden. Ludvig Wittgenstein introducerade begreppet 1921 i verket Tractatus Logico-Philosophicus, och menade med detta en sanning som inte utsäger någonting om verkligheten och som i en axiomatisk teori inte är någonting annat än transformationer av godtyckligt antagna språkliga regler.[1]

Trots att den logiska betydelsen av ordet "tautologi" är helt skild från den äldre, rent språkliga betydelsen av ordet, så är sammanblandning av de två begreppen vanlig.[2]

Tautologi i formella system[redigera | redigera wikitext]

En tautologi är inom satslogiken en sats, som är sann för varje tillordning av sanningsvärden till dess satssymboler.[3] Begreppet kan utsträckas till predikatlogiken genom att man med en predikatlogisk tautologi avser en formel som motsvaras av en satslogisk tautologi, men där satssymboler har ersatts med predikatlogiska formler (en formel per satssymbol). Om en sats \varphi är en tautologi skrivs detta i modern symbolisk logik som \models\varphi.

Exempel på tautologier[redigera | redigera wikitext]

De satslogiska konnektiven har följande proritetsordning:  \neg , \land , \lor , \rightarrow , \leftrightarrow. A, B och C är satssymboler.

Formel Naturligt språk Kommentar
\lnot \lnot A \leftrightarrow A Negering av icke-A är detsamma som A Reduktion av dubbel negation
A \lor \lnot A A eller icke-A Formeln är ett sätt att uttrycka lagen om det uteslutna tredje.
A \to B \leftrightarrow \lnot B \to \lnot A Om A implicerar B så implicerar icke-B icke-A, och omvänt. Formeln uttrycker kontraposition
(\lnot A \to B) \land (\lnot A \to \lnot B) \to A Om icke-A implicerar både B och dess negation icke-B, så följer att icke-A är falskt, och således att A är sant. Formeln visar den princip som också kallas reductio ad absurdum.
\lnot(A \land B) \leftrightarrow \lnot A \lor \lnot B Om inte både A och B, så icke-A eller icke-B, och omvänt. Formeln uttrycker den ena av de Morgans lagar.
(A \to B) \land (B \to C) \to (A \to C)  Om A implicerar B och B implicerar C, så implicerar A, C. Formeln är ett exempel på en syllogism.
(A \lor B) \land (A \to C) \land (B \to C) \to C  Om åtminstone A eller B är sant, och om båda implicerar C, så måste C också vara sant. Formeln är ett exempel på uteslutningsmetoden.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Raymond M. Smullyan, First-Order Logic, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1968.
  • Stephen Cole Kleene, Mathematical Logic, Wiley and Sons, New York 1967.
  • Geoffrey Hunter, Metalogic, An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan, London 1971.

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, Harvard University Press 1967.
  2. ^ Richard von Mises, Positivism: A Study in Human Understanding, Cambridge University Press 1951.
  3. ^ Alonzo Church, Introduction to Mathematical Logic. Princeton University Press, 1956.

Se även[redigera | redigera wikitext]