Teleskoperande serie

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Teleskoperande serie eller teleskopsumma, en matematisk serie med egenskapen att nästan alla termer tar ut varandra när serien summeras.

Ett enkelt exempel är serien

\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}= \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n(n-1)} =\lim_{N \rightarrow \infty}\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{N(N-1)}

där man kan skriva om varje term enligt

\frac{1}{n(n-1)}=\frac{n-(n-1)}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}.

Genom att sätta in detta i serien får man nu

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=\lim_{N \rightarrow \infty}1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{N-1}-\frac{1}{N} =\lim_{N \rightarrow \infty}1-\frac{1}{N}=1.