Tensor

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En tensor (lat. tendo, "spänna, dra åt, tänja") är ett matematiskt objekt som är en generalisering av begreppen skalär, vektor och linjär operator. Tensorer är betydelsefulla inom differentialgeometri, fysik och teknik. Formalismen utvecklades av Gregorio Ricci-Curbastro omkring 1890 under benämningen absolut differentialkalkyl. Einsteins allmänna relativitetsteori, utvecklad under 1910-talet, formuleras med hjälp av tensornotation, och inom kontinuummekaniken används exempelvis spänningstensorn. Tensorer har tillkommit som ett praktiskt verktyg för att beskriva flerdimensionella objekt. Med tensorer hanteras sådana objekt mycket enklare än i utskriven komponentform.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Man kan tänka sig att tensorer representerar ett schema av tal som bestämmer hur de individuella elementen skall kombineras vid multiplikation, addition, och dylikt. En tensor sägs ha ordning n, där n är ett naturligt heltal 0, 1, 2, och så vidare och ordningen betecknar antalet index ett element identifieras med.

Det finns två sätt att närma sig definitionen av tensorer, som kallas det klassiska (eller fysikaliska) sättet och det moderna (eller matematiska) sättet.

Det klassiska eller fysikaliska sättet att definiera tensorer i form av objekt vars komponenter transformeras enligt speciella regler och som även introducerar nya idéer om kovarianta och kontravarianta transformationer.

Synsättet innebär att man betraktar tensorer som multidimensionella arrayer som är n-dimensionella generaliseringar av skalärer, 1-dimensionella vektorer och 2-dimensionella matriser. Tensorns "komponenter" är arrayens index.

Betraktelsesättet kan även generaliseras till tensorfält där elementen i tensorn är funktioner eller till och med differentialer. Det senare innebär en utvidgning av idéerna kring Jacobianen, det vill säga att elementen är derivator av en viss funktion.

Det moderna eller matematiska sättet som innebär att speciella vektorrum definieras oberoende av koordinatsystemet förrän baser introduceras.

Det innebär att tensorer huvudsakligen är abstrakta objekt, som uttrycks som termer av ändliga multilinjära koncept. Tensoregenskaperna, eller "manipulationsreglerna", kan då härledas från definitionerna av linjära avbildningar; en mer generell härledning baseras på utvidgningar av linjär algebra till multilinjär algebra.

Tensorer i fysiken[redigera | redigera wikitext]

Många fysikaliska lagar är proportionaliteter. Till exempel medför en kraft som verkar på en kropp (fysik) en hastighetsförändring som är proportionell mot kraften:

\vec F=m\cdot\dot{\vec v}.

Denna ekvation utsäger också att kraftens riktning även blir accelerationens riktning. Samma proportionalitetsfaktor, massan m, dyker också upp i formeln för kinetisk energi

E_\mathrm{kin}=\frac12\cdot m\cdot v^2.

Det finns dock sammanhang som inte låter sig beskrivas på detta sätt, eftersom deras proportionalitetsfaktorer är beroende på de ingående vektorernas riktningar. Ett exempel är vridningsrörelse: Om ett vridmoment verkar på en roterande kropp medför det en ändring av kroppens vinkelhastighet, och en fördubbling av vridmomentet medför en fördubbling av denna effekt. Det gäller alltså att

M=J\cdot\left|\dot{\vec\omega}\right|

med en proportionalitetsfaktor J, som kan vara olika beroende på riktningen av \dot{\vec\omega}. Riktningarna på \vec M och \dot{\vec\omega} behöver inte heller stämma överens. Rotationsenergin kan på samma sätt framställas med en riktningsberoende proportionalitetsfaktor J som

E_\mathrm{rot}=\frac12\cdot J\cdot\omega^2.

Detta riktningsberoende betyder att tröghetsmomentet J är en tensoriell storhet, i detta fall en tensor av andra ordningen, tröghetstensorn. "Andra ordningen" innebär i detta fall, att två vektorer är inblandade, i första formeln \vec M och \dot{\vec\omega}, i den andra formeln vektorn \vec\omega två gånger. Tensorer av andra ordningen kan alltså grovt sagt göra nya vektorer av vektorer eller göra tal av vektorpar. Matematiskt motsvarar det en linjär avbildning respektive en bilinjär form, som bägge kan uttryckas med en 3\times3-matris. Räknemässigt är en tensor av andra ordningen alltså inget annat än en (kvadratisk) matris, och formlerna ovan får formen

\vec M=J\cdot\dot{\vec\omega} respektive E_\mathrm{rot}=\frac12\cdot\vec\omega^T\cdot J\cdot\vec\omega

med motsvarande matris J.

Tensorer som generalisering av skalärer, vektorer och matriser[redigera | redigera wikitext]

I många tillämpningar, till exempel inom elasticitetsteori räcker det att tänka sig tensorer som fortsättningen på följden skalär, vektor, matris. Då skiljer man på tensorer av olika ”ordning” eller ”rang”.

  • En tensor av nollte ordningen är ett tal, även kallat skalär.
  • En tensor av första ordningen uttrycks som en vektor. I det n-dimensionella rummet har en sådan tensor precis n koefficienter.
  • En tensor av andra ordningen uttrycks med en kvadratisk matris, alltså ett talschema i vilken var och en av tensorns n2 koefficienter betecknas med två index. (Exempel: ett kalkylark i ett kalkylprogram; en tvådimensionell pixelbild.)
  • En tensor av tredje ordningen kan uttryckas med ett kubiskt schema av sina n3 koefficienter, som adresseras med tre index.(Exempel: en mapp med kalkylblad; en videosekvens (pixelbilder med en extra tidskoordinat).
  • En tensor av m-te ordningen har på motsvarande sätt nm koefficienter, som man håller reda på med m index.

Tensorer som indexerade storheter[redigera | redigera wikitext]

En n-te ordningens tensor är en n-faldigt indexerad storhet T_{i_1,i_2,...,i_n}. Det krävs därvid att det råder ett visst transformationsförhållande. Om sålunda koordinatsystemet vrids med en vridningsmatris  a_{i,j} , uttrycks tensorn i de nya koordinaterna som:

T'_{i_1,i_2,...,i_n}=\sum_{j_1=1}^3 ... \sum_{j_n=1}^3 a_{i_1,j_1} ... a_{i_n,j_n} T_{j_1,j_2,...,j_n} .

Tensorer som multilinjärformer[redigera | redigera wikitext]

Tensorerna  T är multilinjära avbildningar till en kropp  K :

T:V_1^{}\times V_2^{}\times\dots\times V_s^{}\to K.

 V_1, \dots\ , V_s betecknar här vektorrum över samma kropp  K och  s betecknar tensorernas ordning.

Multilinjära avbildningar är tensorer, om vart och ett av vektorrummen  V_1, \dots\ , V_s antingen är  V^* eller  V .

 V är ett godtyckligt vektorrum och  V^* är dess så kallade duala vektorrum. Ett sådant består av alla linjära avbildningar från vektorrummet  V till  K , och är självt ett vektorrum av samma dimension och över samma kropp.

Tensorordning[redigera | redigera wikitext]

Ordning Namn Elementbeteckning Vanlig transformation*
0 Skalär a S' = |a|S |
1 Vektor ai V'i = |a|aijVj
2 Matris aij M'ij = |a|aikajlMkl
3 Tensor av ordning 3 aijk M'ijk = |a|ailajsakmMlsm

* |a| är determinanten av koefficientarrayen amn eller motsvarande i den givna dimensionen.
Tabell 1. Tensorer av de tre första ordningarna.

Kvantiteter som transformeras enligt kolumn 4 i tabell 1 brukar benämnas tensordensiteter.

Se även[redigera | redigera wikitext]