Tetraedertal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
En pyramid med sidlängden 5 innehåller 35 sfärer. Varje lager representerar en av de första fem triangeltalen.

Tetraedertal eller triangulärt pyramidtal är en sorts figurtal som representerar en pyramid med en triangulär bas (tetraeder). Det n:te tetraedertalet är summan av de första n triangeltal.

De första tetraedertalen är:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … (talföljd A000292 i OEIS)

Formel[redigera | redigera wikitext]

Formeln för det n:te tetraedertalet representeras av den 3:e stigande faktorn av n dividerat med fakulteten av 3:

T_n={n(n+1)(n+2)\over 6} = {n^{\overline 3}\over 3!}

Tetraedertalen kan också representeras som binomialkoefficienter:

T_n={n+2\choose3}

Tetraedertal kan därför hittas i den fjärde positionen antingen från vänster eller höger i Pascals triangel.

Geometrisk tolkning[redigera | redigera wikitext]

Tetraedertal kan modelleras genom att stapla sfärer. Till exempel, det femte tetraedertalet (T5 = 35) kan bli modellerad med 35 biljardbollar. En standardiserad triangulär biljardbollsram rymmer 15 bollar.

  1. Stapla 10 bollar ovanpå de 15 bollarna
  2. Stapla 6 bollar ovanpå de 10 bollarna
  3. Stapla 3 bollar ovanpå de 6 bollarna
  4. Stapla 1 boll ovanpå de 3 bollarna

Då bildas en tetraeder.[1]

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • A.J. Meyl visade 1878 att endast tre tetraedertal även är perfekta kvadrater, nämligen:
    T1 = 12 = 1
    T2 = 22 = 4
    T48 = 1402 = 19600
  • Det enda tetraedertal som även är kvadratpyramidtal och perfekt kub är 1.
  • Den oändliga summan av tetraedertals reciprokar är 2/3, vilket kan härledas genom teleskoperande serier.
     \!\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{n(n+1)(n+2)} = \frac{3}{2}
  • Tetraedertalen följer mönstret udda-jämn-jämn-jämn
  • En observation av tetraedertalen:
    T5 = T4 + T3 + T2 + T1
  • De tal som både är tetraedertal och triangeltal kan ges genom binomialkoefficientekvationen:
    Tr_n={n+1\choose2}={m+2\choose3}=Te_m
  • De tal som både är tetraedertal och triangeltal är (talföljd A027568 i OEIS):
    Te1 = Tr1 = 1
    Te3 = Tr4 = 10
    Te8 = Tr15 = 120
    Te20 = Tr55 = 1540
    Te34 = Tr119 = 7140

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Tetrahedral number, 12 juli 2013.
  1. ^ http://www.pisquaredoversix.force9.co.uk/Tetrahedra.htm
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.