Tröghetsmoment

Denna artikel handlar om en kropps motstånd mot rotationsändring. För en kropps motstånd mot böjning, se böjtröghetsmoment.

Ett svänghjul har ett stort tröghetsmoment

En kropps tröghetsmoment är ett mått på det vridmoment som krävs för en given ändring av kroppens rotationshastighet kring en given axel.

Tröghetsmoment betecknas med I eller J och används för att beskriva stela kroppars dynamik. Tröghetsmomentet har samma roll för rotationsrörelser som massa har för translationsrörelser. Tröghetsmoment introducerades av Euler.

För en given rotationsaxel beror tröghetsmomentet av hur kroppens massa är fördelad med avseende på axeln:

$I_{0}=\sum _{i}r_{i}^{2}m_{i},$

där r_i är masselementet m_i:s masscentrums avstånd till den givna rotationsaxeln.

Liksom för moment varierar ett tröghetsmoment beroende på referensaxeln, men genom att bestämma en kropps tröghetsmoment med avseende på en axel genom masscentrum kan parallellaxelsatsen (Steiners sats),

$I_{0}=I+d^{2}m,$

användas för att omvandla tröghetsmomentet med avseende på en godtycklig axel (parallell med den första) på avståndet d från masscentrum.

För kontinuerliga massfördelningar används integralen

$I_{0}=\iiint _{V}r^{2}dm.$

där

$dm=\rho \,dV,$

är det kontinuerliga masselementet för ett volymselement, och där ρ är densiteten.

Tröghetstensorn

Tröghetsmoment kan, när en axel inte är given, beskrivas med en andra ordningens tensor (matris) I = I_ij:

${\bar {\bar {I}}}=m(R\cdot R{\bar {\bar {1}}}-RR)={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}$

För en stel kropp är tröghetstensorn summan av varje partikels moment: m → m_i, R → R_i. Elementen I_ii kallas för tröghetsmoment, medan elementen I_ij, i ≠ j, kallas för tröghetsprodukter eller deviationsmoment.

Tröghetstensorn beräknas enligt

$I_{11}=I_{xx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!$

$I_{22}=I_{yy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!$

$I_{33}=I_{zz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}),\,\!$

$I_{12}=I_{xy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\,\!$

$I_{13}=I_{xz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\,\!$

$I_{23}=I_{yz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k},\,\!$

och $I_{12}=I_{21}$, $I_{13}=I_{31}$, och $I_{23}=I_{32}$. ($I$ är alltså en symmetrisk tensor.)

Här betecknar $I_{xx}$ tröghetsmomentet runt x-axeln vid rotation runt samma axel, medan $I_{xy}$ betecknar tröghetsmomentet runt y-axeln vid rotation runt x-axeln, och så vidare.

Tröghetstensorns form beror på valet av koordinatsystem för x, y, z. Det finns alltid ett val av koordinatsystem sådant att tröghetsmomentet kan skrivas

${\bar {\bar {I}}}={\begin{bmatrix}I_{xx}&0&0\\0&I_{yy}&0\\0&0&I_{zz}\end{bmatrix}}.$

Detta moment motsvarar ett koordinatsystem som sammanfaller med principalaxlarna, i detta fall även benämnda huvudtröghetsaxlarna. Genom att välja principalaxlar fås ett tröghetsmoment som bara innehåller diagonalelement. Alternativt kan tröghetsmomentet diagonaliseras för att hitta principalaxlarna.

Exempel

Formler för tröghetsmoment i vanligt förekommande homogena kroppar med massa m.

	$I_{z}={\frac {1}{2}}m\left({r_{1}}^{2}+{r_{2}}^{2}\right)$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left[3\left({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2}\right)+h^{2}\right]$ Ur detta kan man få tröghetsmomentet för några specialfall: Tunn stav ($r_{1}\approx r_{2}\approx 0$): $I_{z}=0\$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mL^{2}}{12}}$ Cylinderskal ($r_{1}\approx r_{2}$): $I_{z}=mr^{2}\$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left(6r^{2}+h^{2}\right)$ Ring ($r_{1}\approx r_{2},h\approx 0$): $I_{z}=mr^{2}\$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{2}}$
	Tunn stav, fastsatt i ena ändpunkten: $I={\frac {1}{3}}mL^{2}$
	Rektangulär bricka med sidorna a och b, fastsatt i brickans mitt: $I={\frac {1}{12}}\cdot m\cdot (a^{2}+b^{2})$
	En rektangulär bricka med längden L och försumbar bredd, fastsatt i ena ändan: $I={\frac {1}{3}}\cdot m\cdot L^{2}$
	Ett massivt klot med radie R, fastsatt så att rotationsaxeln går genom klotets centrum: $I={\frac {2}{5}}\cdot m\cdot R^{2}$ Ett klotformat skal (klot med inre radie r ≈ R): $I={\frac {2}{3}}\cdot m\cdot R^{2}$