Transmissionsledning

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En transmissionsledning är en materiell struktur som transporterar energi i form av elektromagnetiska vågor, akustiska vågor eller elkraft i ledningens längsriktning. För överföring av elkraft se kraftledning. Transmissionsledning kan även avse en gasledning eller en ledning för transport av vätskor. Fluiden kan i detta fall i sin tur användas för att transportera värme, till exempel fjärrvärme.

Historik[redigera | redigera wikitext]

Den matematiska analysen av en elektromagnetisk transmissionsledning bygger på Maxwells elektromagnetiska ekvationer från 1861[1] vilka i sin tur bygger på upptäckter av Michael Faraday från 1831. Telegrafekvationerna i sin moderna form härleddes av Oliver Heaviside 1885. Han patenterade också koaxialledningen 1880 men den kom inte i praktiskt bruk förrän 1936. De första ledningarna var parledningar. De första optiska fibrerna med tillräckligt låg dämpning för att vara praktiskt användbara togs fram av forskare vid Corning Glass Works i USA 1970.

Analys[redigera | redigera wikitext]

För en elektromagnetisk transmissionsledning beror ledningens karakteriska impedans Z0 på materialet och geometrin på ledningens tvärsnitt. Vid anslutning av last och generator i respektive ledningsända brukar dessa anpassas för att minimera stående våg på ledningen. Därigenom minimeras också ledningsförlusterna. Ledningen med dess två ändar analyseras som en fyrpol.

Transmission line 4 port.svg

Analys av parledare utgående från teori om elektriska kretsar[2][redigera | redigera wikitext]

Vi ska här analysera en parledare med längsriktning x, bestående av två cylindriska elektriska ledare separerade med ett konstant avstånd d, och omgärdade av ett homogent, isotropt dielektrikum. Vi låter parledaren modelleras som en kedja av kaskadkopplade ledningselement bestående av diskreta passiva komponenter. Detta kallas transmissionsledningsmodellen.

Transmission line element.svg

Med användning av differentialkalkyl ansätter man att ett infinitesimalt ledningselement har längden dx och ersätter komponentvärdena ovan med produkterna R = r dx, C = c dx etc. där r, c, l och g är derivator med avseende på ledningens längsriktning x. Potentialen v och strömmen i analyseras utgående från Ohms lag och lagar för växelström genom induktans och kapacitans, samt Kirchoffs lagar. Detta ger utifrån modellen de partiella differentialekvationerna:


\frac{\partial}{\partial x} v(x,t) =
 - r i(x,t) -l \frac{\partial}{\partial t} i(x,t)

\frac{\partial}{\partial x} i(x,t) =
 - g v(x,t) -c \frac{\partial}{\partial t} v(x,t)

För det teoretiska specialfallet förlustfri ledning är serieresistansen r = 0 Ohm/m och parallellkonduktansen g = 0 A/Vm. Partiell derivering samt insättning av ekvationerna i varandra ger då.


\frac{\partial^2}{{\partial t}^2} v(x,t) -
\frac{1}{lc} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} v(x,t) = 0

\frac{\partial^2}{{\partial t}^2} i(x,t) -
\frac{1}{lc} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} i(x,t) = 0



Ovanstående formler är vågekvationer för plana spännings- och strömvågor med utbredningsriktning i x-led. Dessa härledningar kallas telegrafekvationerna och visar att man kan skicka energi och därigenom också information längs ledningen. För det stationära fallet, med signaler uppbyggda av sinusvågor med avseende på tiden, kan analysen ske i frekvensdomänen med hjälp av jω-metoden. Ekvationerna blir då ordinära differentialekvationer. För det generella, icke förlustfria fallet, blir ekvationerna enligt denna metod:

\frac{d^2 \hat v(x)}{d x^2}- \gamma^2 \cdot \hat v(x)=0
\frac{d^2 \hat i(x)}{d x^2} - \gamma^2 \cdot \hat i(x)=0

där \gamma kallas utbredningskonstant[3] och ges av uttrycket:

\gamma =\sqrt{(r+j \omega l)(g+j \omega c)} = \alpha+j \beta, där \alpha och \beta blir positiva tal av fysikaliska orsaker.

\alpha kallas dämpningskonstant och \beta faskonstant. För en förlustfri ledning är \alpha = 0 m^{-1}. Lösningen av differentialekvationen (linjär ordinär differentialekvation (ODE) av andra ordningen) blir:

\hat v(x)=\hat v^+(0)e^{-\gamma x}+ \hat v^-(0)e^{+\gamma x} = \hat v^+(x) + \hat v^-(x) = framåtgående våg + bakåtgående våg, där även \hat v^+(0) och \hat v^-(0) är komplexa tal.

Återgång till tidsdomänen enligt jω-metoden ger följande uttryck för den framåtgående vågen:

v^+(x,t)=|\hat v^+(0)|e^{-\alpha x}  cos(\omega t-\beta x+arg(\hat v^+(0)))  =|\hat v^+(0)|e^{-\alpha x}cos(\phi(x,t))

Ur formeln ser vi att vågens amplitud dämpas exponentiellt med sträckan xdämpningskonstanten > 0 m^{-1}.

Vågens hastighet, fashastigheten blir v_\phi = \frac{dx}{dt} = \frac{\omega}{\beta} = f \lambda_g, där \lambda_g är våglängden i transmissionsledningen.

På motsvarande sätt som potentialen härleder man att strömmen \hat i(x) består av framåtgående och bakåtgående våg.

Transmisionsledningens karakteristiska impedans Z0 är oberoende av x, och ges av uttrycket:

Z_0 = \frac{V^+(x)}{I^+(x)} = -\frac{V^-(x)}{I^-(x)} = \sqrt{\frac{r+j\omega l}{g+j \omega c}} = R_0 + j X_0

Analys utgående från teori om elektromagnetiska fält[4][5][redigera | redigera wikitext]

Utifrån teorier om elektromagnetiska fält, geometri och materialegenskaper kan man beräkna karakteriska impedansen, dämpningskonstanten och fashastigheten för en specifik transmissionsledning. Följande analys grundar sig på Maxwells ekvationer.

För stationära sinusformade vågor med avseende på tiden och med hjälp av jω-metoden transformeras de tredimensionella vågekvationerna i vakuum för E- och H-fältets vektorer till:

\nabla^2 \hat \textbf{E}+k_0^2 \hat \textbf{E}=0 och \nabla^2 \hat \textbf{H}+k_0^2 \hat \textbf{H}=0

Denna form kallas Helmholtz vektorekvation. Vektorerna är E = Ex , Ey , Ez och H = Hx , Hy , Hz med användande av Kartesiska koordinater. Konstanten k_0 är vågtalet i vakuum. Helmholtz ekvation är separabel, vilket gör att vi kan skriva lösningen för en plan framåtgående E-våg i riktningen z som:

\hat \textbf{E}^+=\hat \textbf{e}_t^+(x,y)e^{-jk_0 z} + \hat \textbf{e}_z^+(x,y) e^{-jk_0 z} = Transversell våg + Icke transversellt vågbidrag med avseende på utbredningsriktningen z.

Totala E-fältet blir E = E+ + E- (plan framåtgående + plan bakåtgående våg med avseende på z).

Vågorna delas in i tre förekommande fall:

Fälten \hat \textbf{e}_t^+ och \hat \textbf{e}_z^+ är den framåtgående vågens elektriska amplitudfält för transmissionsledningens tvärsnitt. De bestäms av randvillkoren till Maxwells ekvationer vilka kräver kontinuitet för tangentiella E och H vid övergång mellan material. Vid övergång mellan dielektrikum till en metallisk yta är de med ytan tangentiella E-fältskomponenterna = 0 på grund av metallens förmåga att snabbt utjämna potentialskillnader. För det tangentiella H gäller att det är samma i metallens ytskikt som i dielektrikats ytskikt, men att det kan anta andra värden än 0.

För fallet metall y < 0 och dielektrikum y > 0 uttrycks randvillkoren matematiskt som:

\hat \textbf{e}_x^+(x,0) = \hat \textbf{e}_z^+(x,0) = 0 och \frac{\part{\hat \textbf{h}_x^+(x,0)}}{\part y} = \frac{\part{\hat \textbf{h}_z^+(x,0)}}{\part{y}} = 0

Randvillkorsanalysen behöver göras för alla materialövergångar som ingår i transmissionsledningen. Man kan därefter beräkna på och rita upp fältbilderna för \hat \textbf{e}_t^+(x,y), \hat \textbf{h}_t^+(x,y), \hat \textbf{e}_z^+(x,y) och \hat \textbf{h}_z^+(x,y) för TEM, TE och TM-fallen och se om de är möjliga eller ej.

Vid högre frekvens kan fler moder av TEM, TE och TM vara aktiva i transmissionsledningen. TE och TM-fallen har en lägsta frekvens under vilken de inte kan fortplanta sig i ledaren. Denna frekvens kallas gränsfrekvens. Moderna har olika utbredningshastighet vilket kallas dispersion. Man vill därför oftast att transmissionsledningen är designad så att endast grundmoden är aktiv.

För en transmissionsledning med förluster byts k_0 mot k_c = -j\gamma, där \gamma är den komplexa utbredningskonstanten.

\gamma = \alpha + j\beta = j\omega\sqrt{\mu\epsilon}(1+\frac{\sigma}{j\omega\epsilon})^{1/2} för fria plana TEM-vågor i ett dielektrikum.

där materialegenskaperna \mu är permeabilitet, \epsilon permittivitet och \sigma ledningsförmåga.

Den karakteristiska impedansen Z_0 är proportionell mot den intrinsiska vågimpedansen Z=\sqrt{\mu/\epsilon} hos dielektrikat.

Dämpningskonstanten för en transmissionsledning bestående av dielektrikum och metall delas upp som \alpha = \alpha_d + \alpha_c = förluster i dielektrikum + förluster i metall.

Återgång till tidsdomänen ger för TEM-fallet:

\textbf E_{TEM}(x,y,z,t) = (|\hat \textbf{e}_x^+(x,y)|,|\hat \textbf{e}_y^+(x,y)|,0)e^{-\alpha z} cos(\omega t-\beta z+\phi^+) + (|\hat \textbf{e}_x^-(x,y)|,|\hat \textbf{e}_y^-(x,y)|,0)e^{+\alpha z} cos(\omega t+\beta z+\phi^-)

Analys utgående från optisk teori[redigera | redigera wikitext]

Inom optisk lära analyserar man utgående från beteende hos strålar.

Analys av reflektioner och anpassning[redigera | redigera wikitext]

Analys av reflektioner och anpassning är viktig vid impedansförändringar, avslutningar och förgreningar av transmissionsledningen.

Varianter av elektromagnetisk transmissionsledning[redigera | redigera wikitext]

Koaxialledning[redigera | redigera wikitext]

Se koaxialkabel.

Mikrostrip[redigera | redigera wikitext]

Planär transmissionsledning. Enkelledare ovanför jordplan. Förekommer i översta lagret på kretskort.

Stripline[redigera | redigera wikitext]

Planär transmissions ledning. Enkelledare mellan jordplan. Förekommer i mellanlager på kretskort.

Parledare[redigera | redigera wikitext]

Par av ledare separerade av dielektriskt material.

Vågledare[redigera | redigera wikitext]

Metalliska och dielektriska. Se Vågledare

Optisk fiber[redigera | redigera wikitext]

En optisk fiber är en dielektrisk vågledare för optiska frekvenser.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ On Physical Lines of Force, James Clerk Maxwell, 1861
  2. ^ Kompendium Elkretsteori - Ledningar och Filter, Bengt Wedelin, Chalmers, 1995, sid 2-19
  3. ^ Formelsamling i Kretsteori, Elektrovetenskap, LTH 2006
  4. ^ Foundations for Microwave Engineering, Robert E Collin, 2:nd Edition 1992
  5. ^ Field and Wave Electromagnetics, David K. Cheng, 1991, 4:th printing