Trapetsmetoden

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Trapetsmetoden (ej att förväxla med trapetsregeln) är en numerisk metod för att lösa ordinära differentialekvationer som är begynnelsevärdesproblem. Trapetsmetoden är en implicit metod.

Metod[redigera | redigera wikitext]

Givet en differentialekvation,

\frac{dy}{dt} = f(t,y), \quad y(t_0)=y_0,

så uttrycks trapetsmetoden som

 y_{i+1}=y_i+h\frac{f(t_i,y_i)+f(t_{i+1},y_{i+1})}{2},\quad {t_{i+1} = t_i+h},

Där y_n \approx y(t_n) för n>0. Trapetsmetoden är implicit eftersom vi måste lösa ekvationen för y_{i+1}, till exempel genom Newtons metod om f(t,y) är icke-linjär i y.

Motivering[redigera | redigera wikitext]

Om vi integrerar differentialekvationen från  t_n till  t_{n+1} får vi (enligt insättningsformeln)

 y(t_{n+1}) - y(t_n) = \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t,y(t)) \,\mathrm{d}t.

Denna integral kan approximeras med trapetsregeln,

 \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t,y(t)) \,\mathrm{d}t \approx  h \frac{ f(t_n,y(t_n)) + f(t_{n+1},y(t_{n+1})) }{2},

vilket tillsammans med  y_n \approx y(t_n) och  y_{n+1} \approx y(t_{n+1}) ger trapetsmetoden,

 y_{i+1}=y_i+h\frac{f(t_i,y_i)+f(t_{i+1},y_{i+1})}{2},\quad {t_{i+1} = t_i+h},