Trapetsmetoden

Trapetsmetoden (ej att förväxla med trapetsregeln) är en numerisk metod för att lösa ordinära differentialekvationer som är begynnelsevärdesproblem. Trapetsmetoden är en implicit metod.

Metod

Givet en differentialekvation,

$\frac{dy}{dt} = f(t,y), \quad y(t_0)=y_0,$

så uttrycks trapetsmetoden som

$y_{i+1}=y_i+h\frac{f(t_i,y_i)+f(t_{i+1},y_{i+1})}{2},\quad {t_{i+1} = t_i+h},$

Där $y_n \approx y(t_n)$ för $n>0$. Trapetsmetoden är implicit eftersom vi måste lösa ekvationen för $y_{i+1}$, till exempel genom Newtons metod om $f(t,y)$ är icke-linjär i $y$.

Motivering

Om vi integrerar differentialekvationen från $t_n$ till $t_{n+1}$ får vi (enligt insättningsformeln)

$y(t_{n+1}) - y(t_n) = \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t,y(t)) \,\mathrm{d}t.$

Denna integral kan approximeras med trapetsregeln,

$\int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t,y(t)) \,\mathrm{d}t \approx h \frac{ f(t_n,y(t_n)) + f(t_{n+1},y(t_{n+1})) }{2},$

vilket tillsammans med $y_n \approx y(t_n)$ och $y_{n+1} \approx y(t_{n+1})$ ger trapetsmetoden,

$y_{i+1}=y_i+h\frac{f(t_i,y_i)+f(t_{i+1},y_{i+1})}{2},\quad {t_{i+1} = t_i+h},$