Triangelolikheten

Tre exempel som visar triangelolikheten.

Triangelolikheten är en matematisk olikhet enligt vilken längden av en viss sida i en triangel är mindre än summan av längderna av de övriga sidorna men större än differensen mellan dessa sidor.

Den är giltig i en stor uppsättning rum, bland annat för de reella talen.

Normerat vektorrum

I ett normerat vektorrum $V$ kan triangelolikheten skrivas

$\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \| \mathbf{x} \| + \| \mathbf{y} \|$

för alla

$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$

Likhet gäller om och endast om $\mathbf{x}$ och $\mathbf{y}$ är parallella.

Reella tallinjen

Den reella tallinjen är ett normerat vektorrum med absolutbeloppet som norm. Triangelolikheten för de reella talen skrivs därmed som

$|x+y| \leq |x|+|y|$

Här gäller likhet om x och y har samma tecken.

Komplexa talplanet

Inom komplex analys gäller olikheten

$|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|$

med likhet om

$\arg(z_1)=\arg(z_2)$.

Dessutom (se följdsatsen nedan) gäller

$|z_1+z_2| \geq \Big||z_1|-|z_2|\Big|$

med likhet om

$\arg(z_1) = -\arg(z_2)$.

Metriska rum

Triangelolikheten ingår som ett av de definierande axiomen för metriken $d$ i ett metriskt rum $\mathcal{M}$.

Den innebär att summan av avståndet mellan två punkter p och q alltid är mindre eller lika med summan av avstånden mellan punkt p och en godtycklig punkt r, samt avståndet från r till q:

$d(p,q) \leq d(p,r) + d(r,q)$

där d(p, q) betecknar avståndet mellan p och q. Funktionen $d(p,q): \mathcal{M} \to \mathbb{R}$ kallas metriken, eller avståndsfunktionen. Notera att det är avståndet mellan två objekt som definierar rummet och inte tvärt om.

Följdsats

Ur triangelolikheten följer att

$\Big| \| \mathbf{x} \| - \| \mathbf{y} \| \Big|\leq \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \|$

och

$|d(p, r) - d(r, q)| \le d(p, q)$

vilket betyder att normen $|| \mathbf{a} ||$ och avståndsmåttet d(a,b) är Lipschitz-kontinuerliga och därmed även kontinuerliga.

Serier och integraler

Triangelolikheten har ett antal följdsatser.

Med induktion man kan visa att

$\left|\sum_{i=1}^n x_i\right| \leq \sum_{i=1}^n |x_i|$

för $x_i \in \R$ och $n \in \N$.

För absolutkonvergenta serier, det vill säga för

$\sum_{i=1}^\infty |x_i| \in [0,\infty)$

finns en triangelolikhet:

$\left|\sum_{i=1}^\infty x_i\right| \leq \sum_{i=1}^\infty |x_i|$.

För en integral, exempelvis Riemannintegralen, kan man med definitionen av supremum och infimum visa att det finns en triangelolikhet

$\left| \int_a^b f(x)dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|dx$,

om $f(x)\,$ är Riemannintegrerbar.

Se även

• triangel
• Cauchy-Schwarz olikhet
• Pythagoras sats