Trigammafunktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Trigammafunktionen  \psi_1(z) i det komplexa planet. Färgen på en punkt  z kodar värdet av  \psi_1(z) . Starka färger anger värden nära noll och nyans kodar värdets argument.

Trigammafunktionen är en speciell funktion som definieras som

\psi_1(z) = \frac{d^2}{dz^2} \ln\Gamma(z).

Den kan även definieras som serien

 \psi_1(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{(z + n)^2}.

Integralrepresentationer[redigera | redigera wikitext]

En dubbelintegral för trigammafunktionen är

 \psi_1(z) = \int_0^1\int_0^y\frac{x^{z-1}y}{1 - x}\,dx\,dy .

Med partiell integrering får man:

 \psi_1(z) = -\int_0^1\frac{x^{z-1}\ln{x}}{1-x}\,dx .

Funktionalekvationer[redigera | redigera wikitext]

Trigammafunktionen satisfierar funktionalekvationerna

 \psi_1(z + 1) = \psi_1(z) - \frac{1}{z^2}

och

\psi_1(kz) = \frac{1}{k^2} \sum_{n=0}^{k-1}
\psi_1\left(z+\frac{n}{k}\right)\;

samt reflektionsformeln

 \psi_1(1 - z) + \psi_1(z) = \pi^2\csc^2(\pi z). \,

Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

 \psi_{1}\!\left(\tfrac14\right) = \pi^2 + 8G
 \psi_{1}\!\left(\tfrac13\right) = \tfrac23 \pi^2 + 3\sqrt{3}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac23\pi\right)
 \psi_1\!\left(\tfrac12\right) = \tfrac12 \pi^2
 \psi_{1}\!\left(\tfrac23\right) = \tfrac23 \pi^2 - 3\sqrt{3}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac23\pi\right)
 \psi_{1}\!\left(\tfrac34\right) = \pi^2 - 8G
 \psi_1(1) \; = \tfrac16 \pi^2
 \psi_{1}\!\left(\tfrac16\right) = 2 \pi^2 + 15\sqrt{3}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac23\pi\right)
 \psi_{1}\!\left(\tfrac56\right) = 2 \pi^2 - 15\sqrt{3}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac23\pi\right)
 \psi_{1}\!\left(\tfrac18\right) = (2 + \sqrt{2}) \pi^2 + 4 (4-\sqrt{2}) G + 16\sqrt{2}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)
 \psi_{1}\!\left(\tfrac38\right) = (2 - \sqrt{2}) \pi^2 - 4 (4+\sqrt{2}) G + 16\sqrt{2}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)
 \psi_{1}\!\left(\tfrac58\right) = (2 - \sqrt{2}) \pi^2 + 4 (4+\sqrt{2}) G - 16\sqrt{2}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)
 \psi_{1}\!\left(\tfrac78\right) = (2 + \sqrt{2}) \pi^2 - 4 (4-\sqrt{2}) G - 16\sqrt{2}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)
 \psi_1\!\left(\tfrac54\right) = \pi^2 + 8G - 16
 \psi_1\!\left(\tfrac32\right) = \tfrac12\pi^2-4
 \psi_1(2) \; = \tfrac16\pi^2-1


där G är Catalans konstant och \rm{Cl}_2 är Clausens funktion.

Övriga formler[redigera | redigera wikitext]

En intressant formel där trigammafunktionen förekommer är

 \sum_{n=1}^\infty\frac{n^2-\frac12}{\left(n^2+\frac12\right)^2}\left[\psi_1\left(n-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)+\psi_1\left(n+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)\right]=
-1+\frac{\sqrt{2}}{4}\pi\coth\left(\frac{\pi}{\sqrt{2}}\right)-\frac{3\pi^2}{4\sinh^2\left(\frac{\pi}{\sqrt{2}}\right)}+\frac{\pi^4}{12\sinh^4\left(\frac{\pi}{\sqrt{2}}\right)}\left(5+\cosh\left(\pi\sqrt{2}\right)\right).

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Trigamma function, 2 november 2013.
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia, Trigamma-Funktion, 2 november 2013.


Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.