Trigonometriska ettan

Enhetscirkeln

Trigonometriska ettan är ett trigonometriskt samband som erhålls om Pythagoras sats tillämpas på enhetscirkeln:

$\sin ^{2}v+\cos ^{2}v=1\,.$

Bevis

Med rätvinkliga trianglar

I rätvinkliga trianglar har man följande relationer för en vinkel $x$ med närliggande sidor med längd $a,b$ och hypotenusan $c$:

$\sin x={\frac {a}{c}}$

$\cos x={\frac {b}{c}}$

Av detta följer

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1$

Den sista likheten följer av sambandet $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ enligt Pythagoras sats.

Observera att detta endast bevisar satsen för vinklar mellan 0 och ${\frac {\pi }{2}}$ radianer. För att bevisa satsen för de vinklar $\ x$ som uppfyller $-\pi \leq x\leq \pi$ (detta intervall är tillräckigt då sinus och cosinus är periodiska funktioner), kan man se att

$\cos(x+{\frac {\pi }{2}})=-\sin x$

$\sin(x+{\frac {\pi }{2}})=\cos x$

Av detta följer

${\cos }^{2}(x+{\frac {\pi }{2}})=(-\sin(x))^{2}={\sin }^{2}x$

${\sin }^{2}(x+{\frac {\pi }{2}})={\cos }^{2}x$

Vilket visar att sambandet gäller för $0\leq x\leq \pi$. Vi vet att:

$\cos(-x)=\cos x\,$

$\sin(-x)=-\sin x\,$

Av vilket följer

$\ {\cos }^{2}(-x)={\cos }^{2}x,$

$\ {\sin }^{2}(-x)=(-\sin(x))^{2}={\sin x}^{2}$

Vilket visar att sambandet ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\,$ gäller för intervallet $-\pi \leq x\leq \pi$ och därmed för alla $\ x$.

Med enhetscirkel

Koordinaterna på enhetscirkeln kan beskrivas med (där $\alpha$ är vinkeln):

$x=\cos \alpha \,$

$y=\sin \alpha \,$

Dessa koordinater uppfyller även sambandet (cirkelns ekvation):

$x^{2}+y^{2}=1\,$

Ur detta följer att

${\sin }^{2}\alpha +{\cos }^{2}\alpha =1\,$

Se även

• Lista över trigonometriska identiteter