Ultraprodukt

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken, särskilt inom modell- och mängdteori, används ultraprodukter för att, givet en mängd A_i, i\in I av strukturer av viss signatur, konstruera en struktur A=\Pi_{\mathcal{F}}A_i sådan att varje första ordningens påstående är sant i A omm det är sant i "många" av strukturerna A_i.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt A_i,i\in I vara strukturer av en fix signatur, och \mathcal F ett ultrafilter på I. Låt S=\Pi_{i\in I}A_i vara direkta produkten av strukturerna. Definiera en ekvivalensrelation \equiv S genom (a_i)\equiv (b_i) omm \{i\in I\mid a_i=b_i\}\in\mathcal F. Låt A vara kvoten av S med avseende på \equiv . Tolkningen av en relationssymbol R i A ges av

A\models R(a^1,...,a^n) omm \{i\in I\mid A_i\models R(a_i^1,...,a_i^n\}\in\mathcal F

där a^j=(a_i^j). Funktionssymboler och konstanter tolkas analogt. Man visar att detta ger en väldefiniterad struktur, kallad ultraprodukten av strukturerna A_i med avseende på ultrafiltret \mathcal F.

Om alla strukturerna i den mängd man tar ultraprodukten över är lika kallas produkten en ultrapotens

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • Ultraprodukten av en mängd strukturer A_i,i\in I med avseende på ett principalt ultrafilter med stöd i j\in I är isomorf med A_j
  • Ultraprodukten av en mängd kroppar K_i där K_i har karakteristik p_i, det i:te primtalet, med avseende på ett icke-principalt ultrafilter, är en kropp av karakteristik 0. Detta ger en formell tolkning av Lefschetz princip i algebraisk geometri.
  • Ultrapotensen av en oändlig mängd av kopior av de reella talen med avseende på ett icke-principalt ultrafilter är en s.k. icke-standardmodell för de reella talen, i vilken man kan konstruera icke-standardanalys.
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.