Utökade reella tallinjen

Utökade reella tallinjen är ett begrepp inom matematik. Det är den reella tallinjen med två extra punker: en "negativ" och en "positiv oändlighet" med beteckningarna $-\infty$ och $\infty$. Utökade reella tallinjen är viktig till exempel inom måtteori och integrationsteori.

Formell definition

Låt $\R$ vara reella tallinjen. Utökade reella tallinjen är en mängd

$\overline{\R} := \R \cup \{-\infty\} \cup \{\infty\} ,$

där punkerna $-\infty$ och $\infty$ uppfyller följande:

• $-\infty < a < \infty$ för alla $a \in \R$

• $-(\infty) = -\infty$ och $-(-\infty) = \infty$

• $\infty + \infty = \infty$ och $\infty \cdot \infty = \infty$

• $a \cdot \infty = \infty \cdot a = \infty$ för alla $a > 0\,$

• $a (-\infty) = (-\infty) a = -\infty$ för alla $a > 0\,$

• $a \cdot \infty = \infty \cdot a = -\infty$ för alla $a < 0\,$

• $a (-\infty) = (-\infty) a = \infty$ för alla $a < 0\,$

• $a + \infty = \infty + a = \infty$ för alla $a \in \R$

• $\infty - a = \infty$ för alla $a \in \R$

• $a - \infty = -\infty$ för alla $a \in \R$

• $\frac{a}{\infty} = 0$ för alla $a \in \R \setminus \{ 0 \}$

• $\frac{a}{0} = \infty$ för alla $a > 0 \,$

• $\frac{a}{0} = -\infty$ för alla $a < 0 \,$.

Ibland, till exempel inom måtteori, definieras även:

• $0 \cdot \infty = \infty \cdot 0 = 0$ och $0 \cdot (-\infty) = (-\infty) \cdot 0 = 0.$

Uttrycken

• $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{\infty}{0}$, $\frac{0}{\infty}$, $\infty - \infty$ och $\frac{0}{0}$

är inte definierade i $\overline{\R}$.

Egenskaper

• Det går att visa att paret $(\overline{\R},\leq)$ är en ordnad mängd.

Se även

• Måtteori
• Integrationteori