Väntevärde

Uträkning av väntevärden under ett upprepat experiment

Väntevärde är inom matematisk statistik en egenskap hos en stokastisk variabel X och dess sannolikhetsfördelning. Det kan tolkas som medelvärdet för ett försöks utfall om försöket utförs ett oändligt antal gånger.

En approximation av väntevärdet kan fås genom någon form av punktskattning, till exempel stickprovsmedelvärdet av ett antal stickprov.

Slumpen medför att stickprovsmedelvärdet troligen inte överensstämmer med sannolikhetsfördelningens väntevärde. Väntevärdesriktigheten hos punktskattningen ger emellertid att medelvärdet av ett antal stickprovsmedelvärden närmar sig väntevärdet med ökande antal stickprov.

Väntevärdet är ett exempel på ett lägesmått för en sannolikhetsfördelning.

Definition

Väntevärdet μ för en diskret sannolikhetsfördelning definieras som

$\mu = E(X) =\sum_{x}^{} {xP(x)}$

där P(x) är sannolikheten för utfallet x för den stokastiska variabeln X och summeringen görs över alla x i utfallsrummet Ω. Observera att väntevärdet inte behöver existera i utfallsrummet. Väntevärdet vid ett tärningskast är till exempel 3.5, men det är inte möjligt att slå 3.5 med en tärning.

För en kontinuerlig sannolikhetsfördelning definieras väntevärdet som

$\mu = E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\,dx$

där $f(x)$ är fördelningens täthetsfunktion (frekvensfunktion). Detta är samma värde som x-koordinaten för tyngdpunkten av arean under täthetsfunktionen $f(x)$.

Egenskaper

Linjäritet

Operatorn E är en linjär operator.

Om Y är en linjärkombination av stokastiska variabler

$Y = \sum_{i=1}^n a_iX_i + b$

kan väntevärdet av Y beräknas enligt

$\operatorname{E}(Y) = \sum_{i=1}^n a_i\operatorname{E}(X_i) + b$

Icke-multiplikativitet

Generellt gäller inte att $\operatorname{E}(XY)$ är ekvivalent med $\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)$. Dock gäller att

$\operatorname{E}(XY) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xy\operatorname{p_{XY}}(x,y)\,dx\,dy$

Betingat väntevärde

Det betingade väntevärdet kan definieras som

$\operatorname{E}(X|Y)(y) = \operatorname{E}(X|Y=y) = \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y)$