Vektor

Matematiska begrepp
Tal Mängd Variabel Ekvation Funktion Operator Vektor Linjärt rum

Den här artikeln handlar om det matematiska begreppet vektor. För andra betydelser, se Vektor (olika betydelser).

Vektorer används ofta för att beskriva fysikaliska storheter som har både storlek (magnitud) och riktning i rummet. Exempel på vektorstorheter är kraft, hastighet, acceleration, elektriskt fält och magnetfält. Sådana vektorer kallas även rumsvektorer eller geometriska vektorer. Ibland studeras rumsvektorer även i två dimensioner. I motsats till vektorstorheter är storheter som temperatur och ljusstyrka skalärer och saknar alltså riktning.

Inom matematiken generaliseras vektorer till att vara element i ett vektorrum av godtycklig dimension. En sådan generaliserad vektor kan ha en norm som anknyter till längdbegreppet. För vektorrummet kan en inre produkt vara definierad vilken kan sägas mäta vinklar mellan vektorerna. Med denna definition kan många typer av objekt anses vara vektorer. Det enda kravet är att de följer de viktigaste av de räkneregler som gäller för rumsvektorer.

Vektorbeteckningar

Ett vektornamn skrivs vanligen med fet stil, till exempel som

$\mathbf{a}$

I vissa fall kan även notationen

$\overrightarrow{AB}$

förekomma där A är vektorns startpunkt och B dess ändpunkt.

En annan vanlig vektornotation är

$\vec a$

där ett streck eller en pil placerats ovanför namnet.

Representation av vektorer

En 2-dimensionell vektor bestämd av positionen av punkten A med koordinaterna (2, 3).

En 3-dimensionell vektor bestämd av basvektorerna i, j, k

Vektorer i ett n-dimensionellt rum, Rⁿ, kan representeras av en lista med koordinaterna för vektorns ändpunkt enligt

$\mathbf{a} = (a_1, a_2,\text{...}, a_n)$

I enlighet med figuren till höger kan den 2-dimensionella vektorn från O = (0, 0) till A = (2, 3) skrivas som

$\mathbf{a} = (2, 3)$

Vanligtvis antas att en vektors startpunkt sammanfaller med origo i det aktuella koordinatsystemet.

I ℝ³ identifieras vektorer med tripplar av koordinater:

$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$

eller

$\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$

Ibland arrangeras dessa tripplar till kolonnvektorer eller radvektorer, särskilt i samband med hantering av matriser:

$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{bmatrix}$

$\mathbf{a} = [ a_1\ a_2\ a_3 ]$

Ett annat sätt att representera vektorer är att introducera standardbasvektorer, vilket i det tredimensionella fallet kräver tre vektorer. En standardbasvektor har längden 1 och en riktning som sammanfaller med riktningen av en av koordinatsystemets axlar:

${\mathbf e}_1 = (1,0,0),\ {\mathbf e}_2 = (0,1,0),\ {\mathbf e}_3 = (0,0,1).$

eller

$\mathbf{a} = \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3 = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3,$

I elementära läroböcker i fysik betecknas ofta basvektorerna med $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ (eller $\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}}$, där ^ vanligtvis betecknar enhetsvektorn). I detta fall betecknas vektorkoordinaterna enligt a_x, a_y, a_z, och a_x, a_y, a_z. Således,

$\mathbf{a} = \mathbf{a}_x + \mathbf{a}_y + \mathbf{a}_z = a_x{\mathbf i} + a_y{\mathbf j} + a_z{\mathbf k}.$

Identitet mellan vektorer

Två vektorer är identiska om vektorerna har samma storlek och riktning vilket är fallet om de har samma koordinater. De två vektorerna

${\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3$

och

${\mathbf b} = b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3$

är identiska om

$a_1 = b_1,\quad a_2=b_2,\quad a_3=b_3\,$

Addition och subtraktion av vektorer

Summan av två vektorer

$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3), \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$

är

$\ \mathbf{a}+\mathbf{b} = (a_1+ b_1, a_2+ b_2, a_3+b_3)$

Den resulterande vektorns komponenter är de komponentvisa summorna av vektorernas komponenter vilket kan generaliseras till alla dimensioner.

Differensen mellan a och b är

$\mathbf{a}-\mathbf{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)$

Subtraktionen a - b kan tolkas som additionen a + -b.

Skalär multiplikation

Skalär multiplikation av en vektor med en faktor 2 förlänger vektorn.

Om en vektor multipliceras med ett reellt tal r (en skalär) ändras vektorns längd (skalning av vektorn):

$\ r \mathbf{a} = r(a_x, a_y, a_z) = (r a_x, r a_y, r a_z)$

Om r är negativ kastas vektorns riktning om.

Längd

Längden eller magnituden eller normen av vektorn a betecknas ||a||.

Längden av vektorn a kan i ett vektorrum med euklidisk norm beräknas med Pytagoras sats enligt

$\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}$

då koordinataxlarna är vinkelräta mot varandra i detta vektorrum.

Normen är även lika med kvadratroten ur skalärprodukten (se nedan) av vektorn med sig själv:

$\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}$

Skalärprodukt

Skalärprodukten av två vektorer a och b (ibland kallad inre produkt) betecknas a ∙ b och dess resultat är en skalär (ett reellt tal, här en längd multiplicerad med en längd) och är definierad som

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos\theta$

där θ är mätetalet för vinkeln mellan a och b. Geometriskt innebär detta att a och b kan antas dragna från en gemensam startpunkt och längden av projektionen av a på b är multiplicerad med b's längd.

Skalärprodukten kan i ett ortonormerat koordinatsystem definieras som summan av de komponentvisa produkterna enligt

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$

Skalär trippelprodukt

Skalära trippelprodukten definieras som skalärprodukten av en vektor och kryssprodukten (se nedan) av två andra vektorer:

$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})$

Trippelprodukten kan geometriskt tolkas som volymen av en parallellipiped som spänns upp av de tre vektorerna.

Trippelprodukten kan beräknas enligt

$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})$

Om vektorerna i kryssprodukten byter plats negeras trippelprodukten:

$\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=-\mathbf{c}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{a})$

Den skalära trippelprodukten kan också tolkas som determinanten till en 3 × 3 matris som har tre vektorer som rader eller kolumner (transponering av en matris ändrar inte determinantens värde):

$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \det \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{bmatrix}$

Kryssprodukt

Kryssproduktens magnitud är lika med arean av parallellogrammen som spänns upp av a och b. n är en normalvektor till a och b

Högerhandsregeln för en kryssprodukt.

Kryssprodukten (också kallad vektorprodukt eller yttre produkt) är bara meningsfull i tre eller sju dimensioner. Kryssprodukten skiljer sig från skalärprodukten genom att resultatet är en vektor. Kryssprodukten, betecknad a × b, är en vektor vinkelrät mot både a och b och definieras som

$\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\sin(\theta)\,\mathbf{n}$

där θ är mätetalet för vinkeln mellan a and b, och n är en enhetsvektor vinkelrät mot både a och b och vilka tillsammans bildar ett högerorienterat system.

Längden av a × b kan tolkas som arean av en parallellogram som har a och b som sidor.

Kryssprodukten kan i ett ortonormerat koordinatsystem också skrivas som

${\mathbf a}\times{\mathbf b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$

Kryssprodukten är antikommutativ:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}$

Den är distributiv för addition:

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) + (\mathbf{a} \times \mathbf{c})$

Vektorer i ℝ² och komplexa tal

Komplexa tal kan ses som ett fall av vektorer i ℝ². Ett komplext tal har en realdel och en imaginärdel som kan representeras som komponenter i en vektor och som även kan ritas som en vektorpil i det komplexa talplanet. Addition, subtraktion, skalning och längdberäkning utförs som för rumsliga vektorer i ℝ². Komplexa tal medger dessutom vanlig multiplikation och division.

En annan förbindelse mellan komplexa tal och vektorer är vektorer vars komponenter är komplexa tal.

Se även

• Rumsvektor
• Vektorrum
• Matris
• Pseudovektor
• Koordinatsystem
• Vektoranalys

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Vektor.
  Bilder & media

Matematikportalen — portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.