Vektor

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Matematiska begrepp


Den här artikeln handlar om det matematiska begreppet vektor. För andra betydelser, se Vektor (olika betydelser).

Vektorer är matematiska storheter som har både storlek (magnitud) och riktning. De används därför ofta för att beskriva fysikaliska storheter med magnitud och riktning i rummet, som till exempel kraft, hastighet, acceleration, elektriskt fält och magnetfält. Sådana vektorer kallas även rumsvektorer eller geometriska vektorer. Ibland studeras rumsvektorer även i två dimensioner. I motsats till vektorstorheter är storheter som temperatur och ljusstyrka skalärer och saknar alltså riktning.

Inom matematiken generaliseras vektorer till att vara element i ett vektorrum av godtycklig dimension. En sådan generaliserad vektor kan ha en norm som anknyter till längdbegreppet. För vektorrummet kan en inre produkt vara definierad vilken kan sägas mäta vinklar mellan vektorerna. Med denna definition kan många typer av objekt anses vara vektorer. Det enda kravet är att de följer de viktigaste av de räkneregler som gäller för rumsvektorer.

Vektorbeteckningar[redigera | redigera wikitext]

Vector-definition.svg

Ett vektornamn skrivs vanligen med fet stil, till exempel som

\mathbf{a}

I vissa fall kan även notationen

\overrightarrow{AB}

förekomma där A är vektorns startpunkt och B dess ändpunkt.

En annan vanlig vektornotation är

\vec a

där ett streck eller en pil placerats ovanför namnet.

Representation av vektorer[redigera | redigera wikitext]

En 2-dimensionell vektor bestämd av positionen av punkten A med koordinaterna (2, 3).
En 3-dimensionell vektor bestämd av basvektorerna i, j, k

En vektor är inte bunden till en position, men det kan antas att en vektors startpunkt sammanfaller med origo i det aktuella koordinatsystemet. Vektorer i ett n-dimensionellt rum, Rn, kan då representeras av en lista med koordinaterna för vektorernas ändpunkter enligt

\mathbf{a} = (a_1, a_2,\text{...}, a_n)

I enlighet med figuren till höger kan den 2-dimensionella vektorn från O = (0, 0) till A = (2, 3) skrivas som

\mathbf{a} = (2, 3)

I ℝ3 identifieras vektorer med tripplar av koordinater:

\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)

eller

\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)

Ibland arrangeras dessa tripplar till kolonnvektorer eller radvektorer, särskilt i samband med hantering av matriser:

\mathbf{a} = \begin{bmatrix}
 a_1\\
 a_2\\
 a_3\\
\end{bmatrix}
\mathbf{a} = [ a_1\ a_2\ a_3 ]

Ett annat sätt att representera vektorer är att introducera standardbasvektorer, vilket i det tredimensionella fallet kräver tre vektorer. En standardbasvektor har längden 1 och en riktning som sammanfaller med riktningen av en av koordinatsystemets axlar:

{\mathbf e}_1 = (1,0,0),\ {\mathbf e}_2 = (0,1,0),\ {\mathbf e}_3 = (0,0,1).

eller

\mathbf{a} = \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3 = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3,

I elementära läroböcker i fysik betecknas ofta basvektorerna med \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} (eller \mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}}, där ^ vanligtvis betecknar enhetsvektorn). I detta fall betecknas vektorkoordinaterna enligt ax, ay, az, och ax, ay, az. Således,

\mathbf{a} = \mathbf{a}_x + \mathbf{a}_y + \mathbf{a}_z = a_x{\mathbf i} + a_y{\mathbf j} + a_z{\mathbf k}.

Identitet mellan vektorer[redigera | redigera wikitext]

Två vektorer är identiska om vektorerna har samma storlek och riktning. De två vektorerna

{\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3

och

{\mathbf b} = b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3

är identiska om

a_1 = b_1,\quad a_2=b_2,\quad a_3=b_3\,

Addition och subtraktion av vektorer[redigera | redigera wikitext]

Summan av två vektorer

 \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3),  \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)

är

\ \mathbf{a}+\mathbf{b} = (a_1+ b_1, a_2+ b_2, a_3+b_3)
Vectoraddition.svg

Den resulterande vektorns komponenter är de komponentvisa summorna av vektorernas komponenter vilket kan generaliseras till alla dimensioner.

Differensen mellan a och b är

\mathbf{a}-\mathbf{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)
VectorSubtraction.svg

Subtraktionen a - b kan tolkas som additionen a + -b.

Skalär multiplikation[redigera | redigera wikitext]

Skalär multiplikation av en vektor med en faktor 2 förlänger vektorn.

Om en vektor multipliceras med ett reellt tal r (en skalär) ändras vektorns längd (skalning av vektorn):

\ r \mathbf{a} = r(a_x, a_y, a_z)  = (r a_x, r a_y, r a_z)

Om r är negativ kastas vektorns riktning om.

Längd[redigera | redigera wikitext]

Längden eller magnituden eller normen av vektorn a betecknas ||a||.

Vector-magnitude-in-ON-system.svg

Längden av vektorn a kan i ett vektorrum med euklidisk norm beräknas med Pytagoras sats enligt

\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}

då koordinataxlarna är vinkelräta mot varandra i detta vektorrum.

Normen är även lika med kvadratroten ur skalärprodukten (se nedan) av vektorn med sig själv:

\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}

Skalärprodukt[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Skalärprodukt
Scalar-product-dot-product.svg

Skalärprodukten av två vektorer a och b (ibland kallad inre produkt) betecknas a ∙ b och dess resultat är en skalär (ett reellt tal, här en längd multiplicerad med en längd) och är definierad som

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}
=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos\theta

där θ är mätetalet för vinkeln mellan a och b. Geometriskt innebär detta att a och b kan antas dragna från en gemensam startpunkt och längden av projektionen av ab är multiplicerad med b's längd.

Skalärprodukten kan i ett ortonormerat koordinatsystem definieras som summan av de komponentvisa produkterna enligt

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n

Skalär trippelprodukt[redigera | redigera wikitext]

Vector-cube.svg

Skalära trippelprodukten definieras som skalärprodukten av en vektor och kryssprodukten (se nedan) av två andra vektorer:

 \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})

Trippelprodukten kan geometriskt tolkas som volymen av en parallellipiped som spänns upp av de tre vektorerna.

Trippelprodukten kan beräknas enligt


\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})

Om vektorerna i kryssprodukten byter plats negeras trippelprodukten:

 \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=-\mathbf{c}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{a})

Den skalära trippelprodukten kan också tolkas som determinanten till en 3 × 3 matris som har tre vektorer som rader eller kolumner (transponering av en matris ändrar inte determinantens värde):

\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \det \begin{bmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3 \\
\end{bmatrix}

Kryssprodukt[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Kryssprodukt
Kryssproduktens magnitud är lika med arean av parallellogrammen som spänns upp av a och b. n är en normalvektor till a och b
Högerhandsregeln för en kryssprodukt.

Kryssprodukten (också kallad vektorprodukt eller yttre produkt) är bara meningsfull i tre eller sju dimensioner. Kryssprodukten skiljer sig från skalärprodukten genom att resultatet är en vektor. Kryssprodukten, betecknad a × b, är en vektor vinkelrät mot både a och b och definieras som

\mathbf{a}\times\mathbf{b}
=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\sin(\theta)\,\mathbf{n}

där θ är mätetalet för vinkeln mellan a och b, och n är en enhetsvektor vinkelrät mot både a och b som tillsammans med dessa bildar ett högerorienterat system.

Längden av a × b kan tolkas som arean av en parallellogram som har a och b som sidor.

Kryssprodukten kan i ett ortonormerat koordinatsystem också skrivas som

{\mathbf a}\times{\mathbf b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)

Kryssprodukten är antikommutativ:

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}

Den är distributiv för addition:

\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) + (\mathbf{a} \times \mathbf{c})

Vektoriell trippelprodukt[redigera | redigera wikitext]

Den vektoriella trippelprodukten är kryssprodukten av en vektor och kryssprodukten av två andra vektorer:

\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - \mathbf{c}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}).

Då kryssprodukten är antikommutativ kan detta också skrivas

(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} = -\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = -(\mathbf{c}\cdot\mathbf{b})\,\mathbf{a} + (\mathbf{c}\cdot\mathbf{a})\,\mathbf{b}

En annan användbar formulering är

(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} =  \mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) \; - \mathbf{b}\times (\mathbf{a}\times \mathbf{c})

Vektorer i ℝ2 och komplexa tal[redigera | redigera wikitext]

Komplexa tal kan ses som ett fall av vektorer i ℝ2. Ett komplext tal har en realdel och en imaginärdel som kan representeras som komponenter i en vektor och som även kan ritas som en vektorpil i det komplexa talplanet. Addition, subtraktion, skalning och längdberäkning utförs som för rumsliga vektorer i ℝ2. Komplexa tal medger dessutom vanlig multiplikation och division.

En annan förbindelse mellan komplexa tal och vektorer är vektorer vars komponenter är komplexa tal.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Folke Eriksson, Flerdimensionell Analys, Studentlitteratur Lund 1971

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.