Weibullfördelning

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Weibullfördelningen är inom matematisk statistik en kontinuerlig sannolikhetsfördelning.

Täthetsfunktionen, frekvensfunktionen, är

f(x) = { \beta \over \alpha^\beta } x^{\beta-1} e^{-(x/\alpha)^\beta}

Den kumulativa fördelningsfunktionen är

F(x) = 1 -  e^{-(x/\alpha)^\beta}

Fördelningen är definierad endast för  x ≥ 0.

Parametrar:

α är en skalningsparameter för x-variabeln
β är en "skevhetsparameter" eller "formparameter".
Ibland inför man en tredje parameter genom substitutionen y = x + γ. Den parametern (lägesparametern) frigör funktionen från begynnelsepunkten x = 0. Den tredje parametern ger även en ökad flexibilitet vid anpassning av funktionen till experimentella data.

För formparametern kan följande specialfall för täthetsfördelningen nämnas:

β ≈ 3 - 3,5: fördelningen är approximativt symmetrisk och påminner om normalfördelningen.
β = 1: täthetsfördelningen är identisk med exponentialfördelningen.
β < 3: fördelningen är skev åt vänster.
β > 3,5: fördelningen är skev åt höger.
β = 2 fördelningen är en så kallad Rayleigh-fördelning. Dess egenskaper beskrivs närmare hos http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_distribution .


Weibullfördelningen har stor ingenjörsteknisk användning för studium av livslängd och/eller hållfasthet hos tekniska system, där x är tiden/belastningen, och observerade haverier utgör statistiska observationer av en population tekniska enheter under drift. Exempelvis kullager, vilket var Waloddi Weibulls studieobjekt vid slutet av 1930-talet.

Om en weibullfördelning anpassas till observerade gångtider till driftstopp hos en komponent kan den funna formparametern indikera fysikaliska samband:

β = 1: driftstoppen är exponentialfördelade och inträffar slumpmässigt, vilket kan tolkas som att sannolikheten för stopp är oberoende av den ackumulerade gångtiden.
β < 1: sannolikheten för driftstopp är högst närmaste tiden efter driftsättningen; man talar om inkörningsfel eller "barnsjukdomar".
β ≈ 3: först efter en viss utslitningstid observeras en större serie (ungefär) normalfördelade driftstopp. Den kunskapen kan utnyttjas för att schemalägga förebyggande underhåll.

Används ofta för att beskriva keramiska materials variation i hållfasthet.

Litteratur[redigera | redigera wikitext]

  • Weibull, Waloddi: A statistical theory of the strength of materials, (1939) Ingeniörsvetenskapsakademien Stockholm, rapport 151, ISSN 0368-069X

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.