Weierstrass elliptiska funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Weierstrass elliptiska funktion en elliptisk funktion uppkallad efter Karl Weierstrass. Funktionen betecknas vanligen med \wp.

Symbolen för Weierstrass P-funktion

Symbolen för Weierstrass \wp-funktion

Modell av Weierstrass \wp-funktion

Definition[redigera | redigera wikitext]

Weierstrass P-funktion definierad över en delmängd av det komplexa planet. Vit motsvarar en pol, svart ett nollställe och maximal färgmättnad betyder att \left|f(z)\right|=\left|f(x+iy)\right|=1\;.

Weierstrass elliptiska funktion på tre nära relaterade sätt. Den första är en funktion av en komplex variabel z och ett gitter Λ i övre planhalvan. En annan definition är med hjälp av z och två komplexa tal ω1 och ω2 som genererar och utgör ett periodpar för gittret. Den tredje definitionen är med hjälp av z och ett komplext tal τ i övre planhalvan. Den här är relaterad till den förra definitionen enligt τ = ω21. Då bildar Weierstrass funktion för fixerat z en modulär funktion av τ.

Med hjälp av perioderna är Weierstrass elliptiska funktion en elliptisk funktion med perioder ω1 och ω2 definierad som


\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+
\sum_{n^2+m^2 \ne 0}
\left\{
\frac{1}{(z+m\omega_1+n\omega_2)^2}-
\frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2}
\right\}.

Då är \Lambda=\{m\omega_1+n\omega_2:m,n\in\mathbb{Z}\} punkterna vid periodgittret, så att

\wp(z;\Lambda)=\wp(z;\omega_1,\omega_2)

för ett godtyckligt par av generatorer av gittret definierar Weierstrass \wp-funktion en funktion av en komplex variabel och ett gitter.

Om \tau är ett komplext tal i övre planhalvan är

\wp(z;\tau) = \wp(z;1,\tau) = \frac{1}{z^2} + \sum_{n^2+m^2 \ne 0}\left\{
{1 \over (z+m+n\tau)^2} - {1 \over (m+n\tau)^2}\right\}.

Summan ovan är homogen av grad minus två, från vilket vi kan definiera \wp-funktion för ett godtyckligt periodpar som

\wp(z;\omega_1,\omega_2) = \frac{\wp(\frac{z}{\omega_1}; \frac{\omega_2}{\omega_1})}{\omega_1^2}.

Weierstrass \wp-funktion kan beräknas väldigt snabbt med hjälp av thetafunktioner enligt formeln

\wp(z; \tau) = \pi^2 \vartheta^2(0;\tau) \vartheta_{10}^2(0;\tau){\vartheta_{01}^2(z;\tau) \over \vartheta_{11}^2(z;\tau)}-{\pi^2 \over {3}}\left[\vartheta^4(0;\tau) + \vartheta_{10}^4(0;\tau)\right]

Invarianterna[redigera | redigera wikitext]

Reella delen av invarianten g3 som en funktion av q i enhetsdisken.
Imaginära delen av invarianten g3 som en funktion av q i enhetsdisken.

I en omgivning av origo är Laurentserien av \wp


\wp(z;\omega_1,\omega_2)=z^{-2}+\frac{1}{20}g_2z^2+\frac{1}{28}g_3z^4+O(z^6)

där

g_2= 60\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m\omega_1+n\omega_2)^{-4}
g_3=140\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m\omega_1+n\omega_2)^{-6}.

Talen g2 och g3 är kända som invarianterna. Summorna efter koefficienterna 60 och 140 är de två första Eisensteinserierna, som är modulära former då de betraktas som funktioner G4(τ) respektive G6(τ)) av τ = ω21 med Im(τ) > 0.

Notera att g2 och g3 är homogena funktioner av grader −4 och −6; i andra ord,

g_2(\lambda \omega_1, \lambda \omega_2) = \lambda^{-4} g_2(\omega_1, \omega_2)
g_3(\lambda \omega_1, \lambda \omega_2) = \lambda^{-6} g_3(\omega_1, \omega_2).

Därför skrivs vanligen g_2 och g_3 med hjälp av periodkvotet \tau=\omega_2/\omega_1 där \tau antas vara i övre planhalvan som g_2(\tau)=g_2(1, \omega_2/\omega_1) och g_3(\tau)=g_3(1, \omega_2/\omega_1).

Fourierserien av g_2 and g_3 kan skrivas med hjälp av variabeln q=\exp(i\pi\tau) som

g_2(\tau)=\frac{4\pi^4}{3} \left[ 1+ 240\sum_{k=1}^\infty \sigma_3(k) q^{2k} \right]
g_3(\tau)=\frac{8\pi^6}{27} \left[ 1- 504\sum_{k=1}^\infty \sigma_5(k) q^{2k} \right]

där \sigma_a(k) är sigmafunktionen. Denna formel kan skrivas med hjälp av Lambertserier.

Invarianterna kan skrivas med hjälp av Jacobis thetafunktioner. Denna metod är väldigt användbar för numeriska räkningar emedan thetafunktionernas serier konvergerar väldigt snabbt. I beteckningen av Abramowitz och Stegun, men genom att beteckna de primitiva halvperioderna med \omega_1,\omega_2, satisfierar invarianterna

 g_2(\omega_1,\omega_2)=\frac{\pi^4}{12\omega_1^4}(a^8-a^4b^4+b^8)= \frac{\pi^4}{6\omega_1^4}(a^8+b^8+c^8)
g_3(\omega_1,\omega_2)= \frac{\pi^6}{(\sqrt{6}\,\omega_1)^6}(a^{12}-33a^8b^4-33a^4b^8+b^{12})

där

a=\theta_{2}(0; q)=\vartheta_{10}(0; \tau)
b=\theta_{3}(0; q)=\vartheta_{00}(0; \tau)
c=\theta_{4}(0; q)=\vartheta_{01}(0; \tau)

och \tau=\omega_2/\omega_1 är periodkvotet, q=e^{\pi i\tau} och \theta_{m} och \vartheta_{n} är alternativa beteckningar.

Differentialekvation[redigera | redigera wikitext]

Weierstrass funktion satisfierar följande differentialekvation:

 [\wp'(z)]^2 = 4[\wp(z)]^3-g_2\wp(z)-g_3. \,

Integralekvation[redigera | redigera wikitext]

Weierstrass elliptiska funktion kan ges som inversen av en elliptisk integral. Låt

u = \int_y^\infty \frac {ds} {\sqrt{4s^3 - g_2s -g_3}}.

där g2 och g3 ses som konstanter. Då är

y=\wp(u).

Detta följer direkt genom att integrera differentialekvationen.

Konstanterna e1, e2 och e3[redigera | redigera wikitext]

Betrakta tredjegradsekvationen 4t3g2tg3 = 0 med rötterna e1, e2 och e3. Dess diskriminant är 16 gånger den modulära diskriminanten Δ = g23 − 27g32. Om den inte är noll är alla dessa rötter skilda. Eftersom den kvadratiska termen av detta kubiska polynom är noll är rötterna relaterade enligt ekvationen


e_1+e_2+e_3=0. \,

De linjära och konstanta koefficienterna (g2 och g3) är relatrede till rötterna enligt ekvationerna (se elementära symmetriska polynom).[1]

g_2 = -4 \left( e_1 e_2 + e_1 e_3 + e_2 e_3 \right) = 2 \left( e_1^2 + e_2^2 + e_3^2 \right)
g_3 = 4 e_1 e_2 e_3.

Rötterna e1, e2 och e3 av ekvationen 4 X^3 - g_2 X - g_3 beror på τ och kan skrivas med hjälp av Jacobis thetafunktioner.Som tidigare, låt

a=\theta_{2}(0; e^{\pi i \tau})=\vartheta_{10}(0; \tau)
b=\theta_{3}(0; e^{\pi i \tau})=\vartheta_{00}(0; \tau)
c=\theta_{4}(0; e^{\pi i \tau})=\vartheta_{01}(0; \tau),

då är

e_1(\tau) = \tfrac{1}{3} \pi^2(b^4+c^4)
e_2(\tau) = \tfrac{1}{3} \pi^2(-a^4-b^4)
e_3(\tau) = \tfrac{1}{3} \pi^2(a^4-c^4).

Eftersom g_2 = 2 \left( e_1^2 + e_2^2 + e_3^2 \right) och g_3 = 4e_1e_2e_3 kan även dessa skrivas med hjälp av thetafunktioner. I förenklad form är

g_2(\tau) = \tfrac{2}{3}\pi^4(a^8+b^8+c^8)
g_3(\tau) = \tfrac{4}{27}\pi^6 \sqrt{\frac{(a^8+b^8+c^8)^3-54(abc)^8}{2}}
\Delta = g_2^3-27g_3^2 = (2\pi)^{12} \left(\tfrac{1}{2}a b c\right)^8.

I fallet av reella invarianter bestämmer tecknet av Δ = g23 − 27g32 naturen av rötterna. Om \Delta>0 är alla tre rötterna reella och det är konventionellt att namge dem så att e_1>e_2>e_3. Om \Delta<0 är det konventionellt att skriva e_1=-\alpha+\beta i (där \alpha\geq 0, \beta>0), av vilket e_3=\overline{e_1} följer, och e_2 är rellt och icke-negativt.

Halvperioderna ω1/2 and ω2/2 av Weierstrass elliptiska funktion är relaterade till rötterna enligt


\wp(\omega_1/2)=e_1\qquad
\wp(\omega_2/2)=e_2\qquad
\wp(\omega_3/2)=e_3

där \omega_3=-(\omega_1+\omega_2). Eftersom kvadraten av derivatan av Weierstrass elliptiska funktion är lika med den kubiska funktionen ovan av funktionens värde är \wp'(\omega_i/2)^2=\wp'(\omega_i/2)=0 för i=1,2,3. Om igen funktionens värde är lika med en rot av polynomet är derivatan lika med noll.

Om g2 och g3 är reella och Δ > 0 är ei alla reella, och \wp() är rell vid randen av rektangeln med hörnen 0, ω3, ω1 + ω3 och ω1. Om rötterna ordnas såsom ovan (e1 > e2 > e3) är första halvperioden reell:


\omega_{1}/2 = \int_{e_{1}}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{4z^{3} - g_{2}z - g_{3}}}

emedan den tredje halvperioden är rent imginär:


\omega_{3}/2 = i \int_{-e_{3}}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{4z^{3} - g_{2}z - g_{3}}}.

Additionformler[redigera | redigera wikitext]

Weierstrass elliptiska funktion satisfierar flera intressanta identiteter:


\det\begin{bmatrix}
\wp(z) & \wp'(z) & 1\\
\wp(y) & \wp'(y) & 1\\
\wp(z+y) & -\wp'(z+y) & 1
\end{bmatrix}=0

(en symmetrik version är


\det\begin{bmatrix}
\wp(u) & \wp'(u) & 1\\
\wp(v) & \wp'(v) & 1\\
\wp(w) & \wp'(w) & 1
\end{bmatrix}=0

där u + v + w = 0).

Den satisfierar även


\wp(z+y)=\frac{1}{4}
\left\{
\frac{\wp'(z)-\wp'(y)}{\wp(z)-\wp(y)}
\right\}^2
-\wp(z)-\wp(y)

och


\wp(2z)=
\frac{1}{4}\left\{
\frac{\wp''(z)}{\wp'(z)}\right\}^2-2\wp(z)

bara 2z inte är en period.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Weierstrass's elliptic functions, 11 februari 2014.
  1. ^ Abramowitz and Stegun, p. 629

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]