Weierstrassfunktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Weiserstrassfunktionen i intervallet [-2,2]. Det inzoomade området visar att funktionen är en fraktal.

Weierstrassfunktionen skapades av den tyske matematikern Karl Weierstrass under sin tid som professor i Berlin [1]. Den är ett exempel på att en överallt kontinuerlig funktion inte behöver vara deriverbar någonstans och har formen

W(x)= \sum_{k=0}^\infty a^k \cos(b^k \pi x)

där 0<a<1 , ab>1+\frac{3 \pi}{2} och b är ett udda heltal större än 1 [2].

Historia[redigera | redigera wikitext]

Historiskt sett ligger Weierstrassfunktionens betydelse i att den var den första publicerade funktion som motsade att alla kontinuerliga funktioner är deriverbara överallt utom i ett visst antal diskreta punkter. Det hade dock skapats funktioner med dessa egenskaper tidigare, dock publicerades dessa aldrig vilket gjorde att de inte fick samma spridning som Weierstrassfunktionen. [2]. Weierstrassfunktionen anses också vara en av de första fraktalerna som skapats.

Bevis av kontinuitet[redigera | redigera wikitext]

Eftersom

\sum_{k=0}^\infty a^k = \frac{1}{1-a}

och

\left| a^k \cos(b^k \pi x) \right| \le a^k

kommer funktionen vara kontinuerlig på hela \mathbb{R} enligt Weierstrass majorantsats [2].

Bevis av icke-deriverbarhet[redigera | redigera wikitext]

Bevisidé[redigera | redigera wikitext]

Beviset, utförd enligt [2], bygger på att man ska bevisa att höger- och vänsterderivaten är olika, dvs att \frac{W(x+h)-W(x)}{h} \ne \frac{W(x-h)-W(x)}{-h}

Börja med att låta x_0 \in \mathbb{R} och m \in \mathbb{N} var två godtyckliga tal.

Välj \alpha_m \in \mathbb{Z} så att b^m x_0 - \alpha \in \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]

och sätt x_{m+1}=b^m x_0 - \alpha_m \Leftrightarrow x_0= \frac{x_{m+1}+\alpha_m}{b^m}

y_m = \frac{\alpha_m -1}{b^m} och z_m = \frac{\alpha_m +1}{b^m} .

För att visa att y_m<x_0<z_m görs följande beräkningar:

y_m-x_0 = \frac{\alpha_m -1}{b^m} - \frac{x_{m+1}+\alpha_m}{b^m} = \frac{-1-x_{m+1}}{b^m} = -\frac{1+x_{m+1}}{b^m}

z_m-x_0 = \frac{\alpha_m +1}{b^m} - \frac{x_{m+1}+\alpha_m}{b^m} = \frac{1-x_{m+1}}{b^m}

vilket ger olikheten

y_m - x_0 = -\frac{1+x_{m+1}}{b^m} < 0 < \frac{1-x_{m+1}}{b^m} = z_m-x_0

varför y_m<x_0<z_m.

Samtidigt fås att  \lim_{m \to \infty}{-\frac{1+x_{m+1}}{b^m}} = 0 , dvs y_m \to x_0 från vänster då m \to \infty

och  \lim_{m \to \infty}{\frac{1-x_{m+1}}{b^m}} = 0 , dvs z_m \to x_0 från höger då m \to \infty efter b>1.

Uppskattning av vänsterderivatan[redigera | redigera wikitext]

Den vänsterderivatan begrundas först och delas upp i S_1 och S_2 enligt

 \frac{W(y_m)-W(x_0)}{y_m-x_0} = 
\sum_{n=0}^\infty \left( a^n \frac{\cos(b^n \pi y_m) - \cos(b^n \pi x_0)} {y_m - x_0} \right) =


\sum_{n=0}^{m-1} \left( (ab)^n \frac{\cos(b^n \pi y_m) - \cos(b^n \pi x_0)} {b^n(y_m - x_0)} \right) + 
\sum_{n=0}^\infty \left( a^{m+n} \frac{\cos(b^{m+n} \pi y_m) - \cos(b^{m+n} \pi x_0)} {y_m - x_0} \right)
= S_1 + S_2.

Där alltså S1 är summan av kvoterna från n=0 till n=m-1 och S2 är summan av kvoterna från n=m till oändligheten. S1 och S2 behandlas sedan var för sig för kunna uppskatta S1 uppåt och S2 nedåt.

Uppskattning av S1[redigera | redigera wikitext]

S1 skrivs om med hjälp av den trigonometriska formeln \cos(\alpha)-\cos(\beta) = -2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})

samt det faktum att \left| \frac{\sin(x)}{x}\right| \le 1 .

 \left| S_1 \right| = 

\left| \sum_{n=0}^{m-1} \left( (ab)^n \frac{\cos(b^n \pi y_m) - \cos(b^n \pi x_0)} {b^n(y_m - x_0)} \right) \right| 

 = \left| \sum_{n=0}^{m-1} \left( -(ab)^n \frac{1}{b^n (y_m - x_0)} \sin \left( \frac{b^n \pi y_m + b^n \pi x_0}{2} \right)
\sin \left( \frac{b^n \pi y_m - b^n \pi x_0}{2} \right) \right) \right|

 = \left| \sum_{n=0}^{m-1} \left( - \pi (ab)^n \sin \left( \frac{b^n \pi (y_m + x_0)}{2} \right)
 \frac{\sin \left( \frac{b^n \pi (y_m - x_0)}{2} \right)}{\frac{b^n \pi (y_m - x_0)}{2}} \right) \right|  

\le \sum_{n=0}^{m-1}  \pi (ab)^n = \pi \frac{(ab)^m - 1}{ab-1} \le \pi \frac{(ab)^m}{ab-1}

Uppskattning av S2[redigera | redigera wikitext]

S2 kan, då b är ett udda heltal och \alpha_m \in \mathbb{Z} skrivas om enligt


\cos(b^{m+n} \pi y_m) 
= \cos(b^{m+n} \pi \frac{\alpha_m -1}{b^m}) 
= \cos( b^n (\alpha_m - 1) \pi)

och


= ((-1)^{b^n})^{\alpha_m -1} 
= (-1)^{\alpha_m -1} 
= (-1)^{\alpha_m} (-1) 
= - (-1)^{\alpha_m}

vilket ger

 \cos(b^{m+n} \pi x_0) = \cos(b^{m+n} \pi \frac{\alpha_m + x_{m+1}}{b^m}=\cos(b^n \pi (\alpha_m + x_{m+1}))

= \cos\left(b^n \pi \alpha_m \right) \cos(b^n \pi x_{m+1}) - \sin(b^n \pi \alpha_m) \sin(b^n \pi x_{m+1})

=((-1)^{b^n})^{\alpha_m} \cos(b^n \pi x_{m+1}) - 0 \cdot \sin(b^n \pi x_{m+1}

=(-1)^{\alpha_m} \cos(b^n \pi x_{m+1}).

Vi får alltså att

S_2 = \sum_{n=0}^\infty \left( a^{m+n} \frac{\cos(b^{m+n} \pi y_m) - \cos(b^{m+n} \pi x_0)} {y_m - x_0} \right)

= \sum_{n=0}^\infty \left( a^{m+n} \frac{-(-1)^{\alpha_m} - (-1)^{\alpha_m} \cos(b^n \pi x_{m+1})}{y_m - x_0} \right)



= \sum_{n=0}^\infty \left( a^m \cdot a^n \frac{-(-1)^{\alpha_m} - (-1)^{\alpha_m} \cos(b^n \pi x_{m+1})}{-\frac{1+x_{m+1}}{b^m}} \right)
  
=(ab)^m (-1)^{\alpha_m} \sum_{n=0}^\infty a^n \frac{1+\cos(b^n \pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}}
.

I och med att x_{m+1} \in \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right] och \cos(b^n \pi x_{m+1}) \ge -1

är alla termer positiva vilket ger att

\sum_{n=0}^\infty \frac{1+\cos(b^n \pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}} 
\ge \frac{1+\cos(\pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}} 
\ge \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} .

Resultat[redigera | redigera wikitext]

Uppskattningarna av S1 och S2 ger att det existerar ett \epsilon_1 \in \left[ -1,1 \right] och \eta_1 > 1 så att

\frac{W(y_m) - W(x_0)}{y_m - x_0} = 
(-1)^{\alpha_m} (ab)^m \eta_1 \frac{2}{3} + (-1)^{\alpha_m} (ab)^m \eta_1 \epsilon_1 \frac{\pi}{ab-1}

 (-1)^{\alpha_m} (ab)^m \eta_1 \left( \frac{2}{3} + \epsilon_1 \frac{\pi}{ab-1} \right) .

Uppskattning av högerderivatan[redigera | redigera wikitext]

Högerderivatan uppskattas på samma sätt som den vänstra enligt

 \frac{W(z_m)-W(x_0)}{z_m-x_0} = 
\sum_{n=0}^\infty \left( a^n \frac{\cos(b^n \pi z_m) - \cos(b^n \pi x_0)} {z_m - x_0} \right) =


\sum_{n=0}^{m-1} \left( (ab)^n \frac{\cos(b^n \pi z_m) - \cos(b^n \pi z_0)} {b^n(z_m - x_0)} \right) + 
\sum_{n=0}^\infty \left( a^{m+n} \frac{\cos(b^{m+n} \pi z_m) - \cos(b^{m+n} \pi x_0)} {z_m - x_0} \right)
= S'_1 + S'_2.

Uppskattning av S'1[redigera | redigera wikitext]

S'_1 skrivs om på samma sätt som S_1.

 \left| S'_1 \right| = 

\left| \sum_{n=0}^{m-1} \left( (ab)^n \frac{\cos(b^n \pi z_m) - \cos(b^n \pi x_0)} {b^n(z_m - x_0)} \right) \right| 

 = \left| \sum_{n=0}^{m-1} \left( -(ab)^n \frac{1}{b^n (z_m - x_0)} \sin \left( \frac{b^n \pi z_m + b^n \pi x_0}{2} \right)
\sin \left( \frac{b^n \pi z_m - b^n \pi x_0}{2} \right) \right) \right|

 = \left| \sum_{n=0}^{m-1} \left( - \pi (ab)^n \sin \left( \frac{b^n \pi (z_m + x_0)}{2} \right)
 \frac{\sin \left( \frac{b^n \pi (z_m - x_0)}{2} \right)}{\frac{b^n \pi (z_m - x_0)}{2}} \right) \right|  

\le \sum_{n=0}^{m-1}  \pi (ab)^n = \pi \frac{(ab)^m - 1}{ab-1} \le \pi \frac{(ab)^m}{ab-1}

Uppskattning av S'2[redigera | redigera wikitext]

S'_2 kan uppskattas på samma sätt som S_2 enligt nedan.


\cos(b^{m+n} \pi z_m) 
= \cos(b^{m+n} \pi \frac{\alpha_m + 1}{b^m}) 
= \cos( b^n (\alpha_m + 1) \pi)


= ((-1)^{b^n})^{\alpha_m + 1} 
= (-1)^{\alpha_m + 1} 
= - (-1)^{\alpha_m}

Från beräkningen av S2 fås även att

 \cos(b^{m+n} \pi x_0) = (-1)^{\alpha_m} \cos(b^n \pi x_{m+1})

vilket ger att

S'_2 = \sum_{n=0}^\infty \left( a^{m+n} \frac{\cos(b^{m+n} \pi z_m) - \cos(b^{m+n} \pi x_0)} {z_m - x_0} \right)

= \sum_{n=0}^\infty \left( a^{m+n} \frac{-(-1)^{\alpha_m} - (-1)^{\alpha_m} \cos(b^n \pi x_{m+1})}{z_m - x_0} \right)



= \sum_{n=0}^\infty \left( a^m \cdot a^n \frac{-(-1)^{\alpha_m} - (-1)^{\alpha_m} \cos(b^n \pi x_{m+1})}{-\frac{1-x_{m+1}}{b^m}} \right)
  
=-(ab)^m (-1)^{\alpha_m} \sum_{n=0}^\infty a^n \frac{1+\cos(b^n \pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}}
.

I och med att x_{m+1} \in \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right] och \cos(b^n \pi x_{m+1}) \ge -1

är alla termer positiva vilket ger att

\sum_{n=0}^\infty \frac{1+\cos(b^n \pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}} 
\ge \frac{1+\cos( \pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}} 
\ge \frac{1}{1 - \left(-\frac{1}{2} \right)} = \frac{2}{3} .

Resultat[redigera | redigera wikitext]

Uppskattningarna av S'1 och S'2 ger att det existerar ett \epsilon_1 \in \left[ -1,1 \right] och \eta_1 > 1 så att

\frac{W(z_m) - W(x_0)}{z_m - x_0} 
= -(-1)^{\alpha_m} (ab)^m \eta_1 \left( \frac{2}{3} + \epsilon_1 \frac{\pi}{ab-1} \right)

Slutsats[redigera | redigera wikitext]

Vänster- och högerderivatan kan skrivas enligt:

\frac{W(y_m) - W(x_0)}{y_m - x_0} 
= (-1)^{\alpha_m} (ab)^m \eta_1 \left( \frac{2}{3} + \epsilon_1 \frac{\pi}{ab-1} \right)

\frac{W(z_m) - W(x_0)}{z_m - x_0} 
= -(-1)^{\alpha_m} (ab)^m \eta_1 \left( \frac{2}{3} + \epsilon_1 \frac{\pi}{ab-1} \right)

Detta tillsammans med att

\lim_{m \to \infty}(ab)^m = \infty

ger direkt att funktionen saknar derivata eftersom vänster- och högerderivatan har olika tecken.

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Jan Thompson & Thomas Martinsson (1991). Matematiklexikon. ISBN 91-46-16515-0 
  2. ^ [a b c d] http://epubl.luth.se/1402-1617/2003/320/LTU-EX-03320-SE.pdf