Weierstrassfunktionen

Weiserstrassfunktionen i intervallet [-2,2]. Det inzoomade området visar att funktionen är en fraktal.

Weierstrassfunktionen skapades av den tyske matematikern Karl Weierstrass under sin tid som professor i Berlin . Den är ett exempel på att en överallt kontinuerlig funktion inte behöver vara deriverbar någonstans och har formen

$W(x)= \sum_{k=0}^\infty a^k \cos(b^k \pi x)$

där 0<a<1 , $ab>1+\frac{3 \pi}{2}$ och b är ett udda heltal större än 1 .

Historia

Historiskt sett ligger Weierstrassfunktionens betydelse i att den var den första publicerade funktion som motsade att alla kontinuerliga funktioner är deriverbara överallt utom i ett visst antal diskreta punkter. Det hade dock skapats funktioner med dessa egenskaper tidigare, dock publicerades dessa aldrig vilket gjorde att de inte fick samma spridning som Weierstrassfunktionen. . Weierstrassfunktionen anses också vara en av de första fraktalerna som skapats.

Bevis av kontinuitet

Eftersom

$\sum_{k=0}^\infty a^k = \frac{1}{1-a}$

och

$\left| a^k \cos(b^k \pi x) \right| \le a^k$

kommer funktionen vara kontinuerlig på hela $\mathbb{R}$ enligt Weierstrass majorantsats .

Bevis av icke-deriverbarhet

Bevisidé

Beviset, utförd enligt , bygger på att man ska bevisa att höger- och vänsterderivaten är olika, dvs att $\frac{W(x+h)-W(x)}{h} \ne \frac{W(x-h)-W(x)}{-h}$

Börja med att låta $x_0 \in \mathbb{R}$ och $m \in \mathbb{N}$ var två godtyckliga tal.

Välj $\alpha_m \in \mathbb{Z}$ så att $b^m x_0 - \alpha \in \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$

och sätt $x_{m+1}=b^m x_0 - \alpha_m \Leftrightarrow x_0= \frac{x_{m+1}+\alpha_m}{b^m}$

$y_m = \frac{\alpha_m -1}{b^m}$ och $z_m = \frac{\alpha_m +1}{b^m}$.

För att visa att $y_m<x_0<z_m$ görs följande beräkningar:

$y_m-x_0 = \frac{\alpha_m -1}{b^m} - \frac{x_{m+1}+\alpha_m}{b^m} = \frac{-1-x_{m+1}}{b^m} = -\frac{1+x_{m+1}}{b^m}$

$z_m-x_0 = \frac{\alpha_m +1}{b^m} - \frac{x_{m+1}+\alpha_m}{b^m} = \frac{1-x_{m+1}}{b^m}$

vilket ger olikheten

$y_m - x_0 = -\frac{1+x_{m+1}}{b^m} < 0 < \frac{1-x_{m+1}}{b^m} = z_m-x_0$

varför $y_m<x_0<z_m$.

Samtidigt fås att $\lim_{m \to \infty}{-\frac{1+x_{m+1}}{b^m}} = 0$, dvs $y_m \to x_0$ från vänster då $m \to \infty$

och $\lim_{m \to \infty}{\frac{1-x_{m+1}}{b^m}} = 0$, dvs $z_m \to x_0$ från höger då $m \to \infty$ efter b>1.

Uppskattning av vänsterderivatan

Den vänsterderivatan begrundas först och delas upp i $S_1$ och $S_2$ enligt

$\frac{W(y_m)-W(x_0)}{y_m-x_0} = \sum_{n=0}^\infty \left( a^n \frac{\cos(b^n \pi y_m) - \cos(b^n \pi x_0)} {y_m - x_0} \right) =$

$\sum_{n=0}^{m-1} \left( (ab)^n \frac{\cos(b^n \pi y_m) - \cos(b^n \pi x_0)} {b^n(y_m - x_0)} \right) + \sum_{n=0}^\infty \left( a^{m+n} \frac{\cos(b^{m+n} \pi y_m) - \cos(b^{m+n} \pi x_0)} {y_m - x_0} \right) = S_1 + S_2$.

Där alltså S1 är summan av kvoterna från n=0 till n=m-1 och S2 är summan av kvoterna från n=m till oändligheten. S1 och S2 behandlas sedan var för sig för kunna uppskatta S1 uppåt och S2 nedåt.

Uppskattning av S1

S1 skrivs om med hjälp av den trigonometriska formeln $\cos(\alpha)-\cos(\beta) = -2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$

samt det faktum att $\left| \frac{\sin(x)}{x}\right| \le 1$.

$\left| S_1 \right| = \left| \sum_{n=0}^{m-1} \left( (ab)^n \frac{\cos(b^n \pi y_m) - \cos(b^n \pi x_0)} {b^n(y_m - x_0)} \right) \right| = \left| \sum_{n=0}^{m-1} \left( -(ab)^n \frac{1}{b^n (y_m - x_0)} \sin \left( \frac{b^n \pi y_m + b^n \pi x_0}{2} \right) \sin \left( \frac{b^n \pi y_m - b^n \pi x_0}{2} \right) \right) \right|$

$= \left| \sum_{n=0}^{m-1} \left( - \pi (ab)^n \sin \left( \frac{b^n \pi (y_m + x_0)}{2} \right) \frac{\sin \left( \frac{b^n \pi (y_m - x_0)}{2} \right)}{\frac{b^n \pi (y_m - x_0)}{2}} \right) \right| \le \sum_{n=0}^{m-1} \pi (ab)^n = \pi \frac{(ab)^m - 1}{ab-1} \le \pi \frac{(ab)^m}{ab-1}$

Uppskattning av S2

S2 kan, då b är ett udda heltal och $\alpha_m \in \mathbb{Z}$ skrivas om enligt

$\cos(b^{m+n} \pi y_m) = \cos(b^{m+n} \pi \frac{\alpha_m -1}{b^m}) = \cos( b^n (\alpha_m - 1) \pi)$

och

$= ((-1)^{b^n})^{\alpha_m -1} = (-1)^{\alpha_m -1} = (-1)^{\alpha_m} (-1) = - (-1)^{\alpha_m}$

vilket ger

$\cos(b^{m+n} \pi x_0) = \cos(b^{m+n} \pi \frac{\alpha_m + x_{m+1}}{b^m}=\cos(b^n \pi (\alpha_m + x_{m+1}))$

$= \cos\left(b^n \pi \alpha_m \right) \cos(b^n \pi x_{m+1}) - \sin(b^n \pi \alpha_m) \sin(b^n \pi x_{m+1})$

$=((-1)^{b^n})^{\alpha_m} \cos(b^n \pi x_{m+1}) - 0 \cdot \sin(b^n \pi x_{m+1}$

$=(-1)^{\alpha_m} \cos(b^n \pi x_{m+1})$.

Vi får alltså att

$S_2 = \sum_{n=0}^\infty \left( a^{m+n} \frac{\cos(b^{m+n} \pi y_m) - \cos(b^{m+n} \pi x_0)} {y_m - x_0} \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( a^{m+n} \frac{-(-1)^{\alpha_m} - (-1)^{\alpha_m} \cos(b^n \pi x_{m+1})}{y_m - x_0} \right)$

$= \sum_{n=0}^\infty \left( a^m \cdot a^n \frac{-(-1)^{\alpha_m} - (-1)^{\alpha_m} \cos(b^n \pi x_{m+1})}{-\frac{1+x_{m+1}}{b^m}} \right) =(ab)^m (-1)^{\alpha_m} \sum_{n=0}^\infty a^n \frac{1+\cos(b^n \pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}}$.

I och med att $x_{m+1} \in \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$ och $\cos(b^n \pi x_{m+1}) \ge -1$

är alla termer positiva vilket ger att

$\sum_{n=0}^\infty \frac{1+\cos(b^n \pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}} \ge \frac{1+\cos(\pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}} \ge \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$ .

Resultat

Uppskattningarna av S1 och S2 ger att det existerar ett $\epsilon_1 \in \left[ -1,1 \right]$ och $\eta_1 > 1$ så att

$\frac{W(y_m) - W(x_0)}{y_m - x_0} = (-1)^{\alpha_m} (ab)^m \eta_1 \frac{2}{3} + (-1)^{\alpha_m} (ab)^m \eta_1 \epsilon_1 \frac{\pi}{ab-1}$

$(-1)^{\alpha_m} (ab)^m \eta_1 \left( \frac{2}{3} + \epsilon_1 \frac{\pi}{ab-1} \right)$.

Uppskattning av högerderivatan

Högerderivatan uppskattas på samma sätt som den vänstra enligt

$\frac{W(z_m)-W(x_0)}{z_m-x_0} = \sum_{n=0}^\infty \left( a^n \frac{\cos(b^n \pi z_m) - \cos(b^n \pi x_0)} {z_m - x_0} \right) =$

$\sum_{n=0}^{m-1} \left( (ab)^n \frac{\cos(b^n \pi z_m) - \cos(b^n \pi z_0)} {b^n(z_m - x_0)} \right) + \sum_{n=0}^\infty \left( a^{m+n} \frac{\cos(b^{m+n} \pi z_m) - \cos(b^{m+n} \pi x_0)} {z_m - x_0} \right) = S'_1 + S'_2$.

Uppskattning av S'1

$S'_1$ skrivs om på samma sätt som $S_1$.

$\left| S'_1 \right| = \left| \sum_{n=0}^{m-1} \left( (ab)^n \frac{\cos(b^n \pi z_m) - \cos(b^n \pi x_0)} {b^n(z_m - x_0)} \right) \right| = \left| \sum_{n=0}^{m-1} \left( -(ab)^n \frac{1}{b^n (z_m - x_0)} \sin \left( \frac{b^n \pi z_m + b^n \pi x_0}{2} \right) \sin \left( \frac{b^n \pi z_m - b^n \pi x_0}{2} \right) \right) \right|$

$= \left| \sum_{n=0}^{m-1} \left( - \pi (ab)^n \sin \left( \frac{b^n \pi (z_m + x_0)}{2} \right) \frac{\sin \left( \frac{b^n \pi (z_m - x_0)}{2} \right)}{\frac{b^n \pi (z_m - x_0)}{2}} \right) \right| \le \sum_{n=0}^{m-1} \pi (ab)^n = \pi \frac{(ab)^m - 1}{ab-1} \le \pi \frac{(ab)^m}{ab-1}$

Uppskattning av S'2

$S'_2$ kan uppskattas på samma sätt som $S_2$ enligt nedan.

$\cos(b^{m+n} \pi z_m) = \cos(b^{m+n} \pi \frac{\alpha_m + 1}{b^m}) = \cos( b^n (\alpha_m + 1) \pi)$

$= ((-1)^{b^n})^{\alpha_m + 1} = (-1)^{\alpha_m + 1} = - (-1)^{\alpha_m}$

Från beräkningen av S2 fås även att

$\cos(b^{m+n} \pi x_0) = (-1)^{\alpha_m} \cos(b^n \pi x_{m+1})$

vilket ger att

$S'_2 = \sum_{n=0}^\infty \left( a^{m+n} \frac{\cos(b^{m+n} \pi z_m) - \cos(b^{m+n} \pi x_0)} {z_m - x_0} \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( a^{m+n} \frac{-(-1)^{\alpha_m} - (-1)^{\alpha_m} \cos(b^n \pi x_{m+1})}{z_m - x_0} \right)$

$= \sum_{n=0}^\infty \left( a^m \cdot a^n \frac{-(-1)^{\alpha_m} - (-1)^{\alpha_m} \cos(b^n \pi x_{m+1})}{-\frac{1-x_{m+1}}{b^m}} \right) =-(ab)^m (-1)^{\alpha_m} \sum_{n=0}^\infty a^n \frac{1+\cos(b^n \pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}}$.

I och med att $x_{m+1} \in \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$ och $\cos(b^n \pi x_{m+1}) \ge -1$

är alla termer positiva vilket ger att

$\sum_{n=0}^\infty \frac{1+\cos(b^n \pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}} \ge \frac{1+\cos( \pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}} \ge \frac{1}{1 - \left(-\frac{1}{2} \right)} = \frac{2}{3}$.

Resultat

Uppskattningarna av S'1 och S'2 ger att det existerar ett $\epsilon_1 \in \left[ -1,1 \right]$ och $\eta_1 > 1$ så att

$\frac{W(z_m) - W(x_0)}{z_m - x_0} = -(-1)^{\alpha_m} (ab)^m \eta_1 \left( \frac{2}{3} + \epsilon_1 \frac{\pi}{ab-1} \right)$

Slutsats

Vänster- och högerderivatan kan skrivas enligt:

$\frac{W(y_m) - W(x_0)}{y_m - x_0} = (-1)^{\alpha_m} (ab)^m \eta_1 \left( \frac{2}{3} + \epsilon_1 \frac{\pi}{ab-1} \right)$

$\frac{W(z_m) - W(x_0)}{z_m - x_0} = -(-1)^{\alpha_m} (ab)^m \eta_1 \left( \frac{2}{3} + \epsilon_1 \frac{\pi}{ab-1} \right)$

Detta tillsammans med att

$\lim_{m \to \infty}(ab)^m = \infty$

ger direkt att funktionen saknar derivata eftersom vänster- och högerderivatan har olika tecken.