Wiens lag

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Svartkroppsspektrum vid olika temperaturer på dubbellogaritmisk skala; den streckade linjen genom topparna anger Wiens lag.

Wiens lag, också kallad Wiens förskjutninglag, är sambandet mellan emissionsmaximum och temperaturen av en svartkroppsstrålare. Det är vanligt att uttrycka Wiens lag på följande form:

\frac{h \upsilon_{max}}{k_BT} \approx 2,\!822

där h är Plancks konstant, υmax emissionsmaximum, kB Boltzmanns konstant och T temperaturen. Lagen kan också skrivas

\lambda_{max} = \frac{b}{T}

där konstanten b, Wiens förskjutningskonstant, är

 b = 2,\!89777 \times 10^{-3} \ \mathrm{m \cdot K}

Några handfasta exempel: solen med en yttemperatur på 5800 K strålar starkast i det gröna kring 500 nm. En människa med en temperatur på 300 K strålar termisk infraröd med våglängder kring 10 μm. Kosmisk bakgrundsstrålning med en temperatur på 2,7 K har våglängder kring 1 mm.

Härledning[redigera | redigera wikitext]

Den tyske fysikern Wilhelm Wien formulerade lagen 1893 utifrån ett termodynamiskt bevis, men den kan också härledas ur Plancks strålninglag för svarta kroppar, som tillkom senare. Tanken är att derivera strålningslagen med avseende på våglängden λ, och för att få λmax sätts derivatan lika med noll. Under deriveringen hålls T konstant.

u(\lambda) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda k_BT}-1}
{ \partial u \over \partial \lambda } = 8\pi h c\left( {hc\over kT \lambda^7}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda k_BT}-1\right)^2} -  {1\over\lambda^6}{5\over e^{h c/\lambda k_BT}-1}\right)=0
{hc\over\lambda k_BT }{1\over 1-e^{-h c/\lambda k_BT}}-5=0

(c är ljushastigheten i vakuum.) Sätt

x\equiv{hc\over\lambda k_BT }

Då förkortas sambandet till:

{x\over 1-e^{-x}}-5=0

Lösningen går inte att uttrycka i elementära funktioner, men kan lösas numeriskt till x = 4,9651142317442763... vilket medför att uttrycket kan förenklas till

{hc\over\lambda_{max} k_BT}  = x \Rightarrow \lambda_{max} = \frac{c h}{k_B T x}

När den enda varierande termen är T, kan man förenkla vidare med

b = \frac{c h}{k x} \approx 0,\!00289776 \;\;\mathrm{m \cdot K}

och erhålla den sökta

\lambda_{max} = \frac{b}{T}