Yule–Walker-ekvationerna

Yule–Walker-ekvationerna är en uppsättning ekvationer som uppstår vid skattning av parametrar för en autoregressiv modell för linjär prediktion.

Givet ekvationen

$Y(n) + a_1 Y(n-1) + a_2 Y(n-2) + \ldots + a_N Y(n-N) = b_0 X(n)$,

där $X(n)$ är vitt brus, önskas parametrarna $a_k$ beräknas. Genom att multiplicera bägge leden med $Y(n-k)$ fås

$Y(n) Y(n-k) + \ldots + a_N Y(n-N) Y(n-k) = b_0 X(n) Y(n-k)$

Väntevärdet av de bägge leden blir

$E[Y(n) Y(n-k) + \ldots + a_N Y(n-N) Y(n-k)] = E[b_0 X(n) Y(n-k)]$

$r_Y(k) + a_1 r_Y(k-1) + \ldots + a_N r_Y(k-N)] = b_0 E[X(n) Y(n-k)]$

($r_Y(k)$ är $Y$:s autokorrelationsfunktion.) Men eftersom $Y$ inte beror av framtida värden av $X$ så är

$E[X(n) Y(n-k)] = 0,\ k>0$

vilket ger ekvationen

$a_1 r_Y(k-1) + \ldots + a_N r_Y(k-N)] = -r_Y(k)$

och ekvationssystemet för $k=1,\ldots,N$ (notera att $r_Y$ är symmetrisk, så $r_Y(-k) = r_Y(k)$)

$\begin{pmatrix} r_Y(0) & r_Y(1) & \cdots & r_Y(N-1) \\ r_Y(1) & r_Y(0) & \cdots & r_Y(N-2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_Y(N-1) & r_Y(N-2) & \cdots & r_Y(0) \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_N \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} r_Y(1) \\ r_Y(2) \\ \vdots \\ r_Y(N) \end{pmatrix}$

Ekvationssystem kan lösas med gausseliminering, eller, eftersom matrisen är en Toeplitz-matris, genom Levinson-rekursion.