Zermelo-Fraenkels mängdteori

Zermelo-Fraenckels mängdteori med urvalsaxiomet (förkortat ZFC) är ett axiomsystem för mängder, formaliserat i första ordningens logik med hjälp av ett språk som består av en icke-logisk symbol som betecknar elementrelationen, $\in$. ZFC betraktas allmänt som en adekvat axiomatisk grund för i stort sett all matematik.

Två intressanta delteorier till ZFC är ZF och Z.

Zermelos mängdteori (Z)

Följande axiom ingår i Z:

• 1. Extensionalitet.

$\forall x \forall y ( \forall z(z \in x \leftrightarrow z \in y) \rightarrow x = y)$

Detta axiom säger att en mängd definieras av sina element. Två mängder som har exakt samma element är med andra ord identiska.

• 2. Separation. (Alternativt delmängdsaxiomet, (begränsade) abstraktionsprincipen.)

$\forall y \exists z \forall x (x \in z \leftrightarrow x\in y \land \varphi(x))$

Detta axiomschema (dvs ett specifikt axiom för varje $\varphi$ i vilken y inte förekommer fritt) säger att givet en mängd y kan vi bilda den delmängd till y som består av alla objekt som uppfyller egenskapen som beskrivs av $\varphi$.

• 3. Union.

$\forall z \exists u \forall y \forall x(x \in y \land y \in z \rightarrow x \in u)$

Detta axiom säger att givet en mängd z med element y, så finns en mängd u som innehåller alla element ur alla y.

• 4. Par.

$\forall x \forall y \exists z(x\in z \land y \in z)$

Detta axiom säger att vi givet två mängder x och y kan bilda en mängd z som innehåller precis x och y.

• 5. Potensmängd.

$\forall x \exists z \forall y(y \subseteq x \rightarrow y \in z)$

Detta axiom säger att klassen av alla delmängder till en mängd är en mängd. Notera att vi formellt inte har tillgång till delmängdsrelationen, men den definieras lätt i termer av $\in$.

• 6. Regularitet.

$\forall x (x \not= \emptyset \rightarrow \exists y(y \in x \land y \cap x = \emptyset)$

Detta axiom säger att varje mängd har ett $\in$-minimalt, dvs ett element som inte har något element gemensamt med den ursprungliga mängden. Notera att $\emptyset$ betecknar den tomma mängden.

• 7. Oändlighet.

$\exists x(\emptyset \in x \land \forall y (y \in x \rightarrow S(y) \in x))$

Detta axiom säger att det finns en oändlig mängd. S(y) betecknar successorn av y, som definieras enligt $S(y) = y \cup \{y\}$

Zermelo-Fraenckels mängdteori (ZF)

I ZF ingår axiom 1-3, 5-7 samt följande axiom.

• 8. Substitution.

$\forall x \exists ! y(\varphi(x,y)) \rightarrow \forall u \exists z \forall x \in u \exists y\in z \varphi(x,y)$

Detta axiom säger att bilden av en mängd under en funktionell relation är en mängd.

Substitionsaxiomet implicerar paraxiomet, varför detta utelämnas ur ZF.

Zermelo-Fraenckels mängdteori med urvalsaxiomet (ZFC)

För att kunna formulera urvalsaxiomet (ofta förkortat AC, från engelskans Axiom of Choice), som är det axiom som läggs till ZF för att få ZFC, krävs en definition.

Definition: Antag att x är en mängd av icke-tomma mängder. En urvalsfunktion på x är en funktion f med domän x sådan att $f(y) \in y$ för alla $y \in x$. f plockar alltså ut precis ett objekt ur varje element i x.

9. Urval.

Varje mängd av icke-tomma mängder har en urvalsfunktion.

Det finns en uppsjö av ekvivalenta formuleringar av urvalsaxiomet, till exempel påståendet att alla mängder kan välordnas.

Referenser

• Christian Bennet, 2003. Något litet om mängder.
• Thomas Jech, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kenneth Kunen, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

Externa länkar

• Stanford Encyclopedia of Philosophy:
  • Set Theory;
  • Axioms of Zermelo-Fraenkel Set Theory.
• En fullständigt formaliserad uppbyggnad av matematiken från grunden, baserad på ZFC samt de logiska axiomen