Zermelo–Fraenkels mängdteori

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Zermelo-Fraenkels mängdteori)
Hoppa till: navigering, sök

Zermelo-Fraenckels mängdteori med urvalsaxiomet (förkortat ZFC) är ett axiomatiskt system för mängder, formaliserat i första ordningens logik med hjälp av ett språk som består av en icke-logisk symbol som betecknar elementrelationen, \in. ZFC betraktas allmänt som en adekvat axiomatisk grund för i stort sett all matematik.

Två intressanta delteorier till ZFC är ZF och Z.

Zermelos mängdteori (Z)[redigera | redigera wikitext]

Följande axiom ingår i Z:

  • 1. Extensionalitet.
\forall x \forall y ( \forall z(z \in x \leftrightarrow z \in y) \rightarrow x = y)

Enligt axiomet definieras en mängd av sina element. Två mängder som har exakt samma element är identiska.

  • 2. Separation. (Alternativt delmängdsaxiomet, (begränsade) abstraktionsprincipen.)
\forall y \exists z \forall x (x \in z \leftrightarrow x\in y \land \varphi(x))

Detta axiomschema (det vill säga, ett specifikt axiom för varje \varphi i vilken y inte förekommer fritt) innebär att givet en mängd y kan en delmängd till y bildas, som består av alla objekt som uppfyller egenskapen som beskrivs av \varphi.

  • 3. Union.
\forall z \exists u \forall y \forall x(x \in y  \land y \in z \rightarrow x \in u)

Givet en mängd z med elementen y, så finns en mängd u som innehåller alla element ur alla y.

  • 4. Par.
\forall x  \forall y \exists z(x\in z \land y \in z)

Givet två mängder x och y, kan en mängd z bildas, som innehåller precis x och y.

  • 5. Potensmängd.
\forall x \exists z \forall y(y \subseteq x \rightarrow y \in z)

Axiomet innebär att klassen av alla delmängder till en mängd är en mängd. Notera att det formellt inte finns tillgång till delmängdsrelationen, men den kan lätt definieras i termer av \in.

  • 6. Regularitet.
\forall x (x \not= \emptyset \rightarrow \exists y(y \in x \land y \cap x = \emptyset)

Varje mängd har ett \in-minimalt, det vill säga, ett element som inte har något element gemensamt med den ursprungliga mängden. Notera att \emptyset betecknar den tomma mängden.

  • 7. Oändlighet.
\exists x(\emptyset \in x \land \forall y (y \in x \rightarrow S(y) \in x))

Det finns en oändlig mängd. S(y) betecknar successorn av y, som definieras enligt S(y) = y \cup \{y\}

Zermelo-Fraenckels mängdteori (ZF)[redigera | redigera wikitext]

I ZF ingår axiom 1-3, 5-7 samt följande axiom.

  • 8. Substitution.
\forall x \exists ! y(\varphi(x,y)) \rightarrow \forall u \exists z  \forall x \in u \exists y\in z \varphi(x,y)

Bilden av en mängd under en funktionell relation är en mängd.

Substitionsaxiomet implicerar paraxiomet, varför detta utelämnas ur ZF.

Zermelo-Fraenckels mängdteori med urvalsaxiomet (ZFC)[redigera | redigera wikitext]

För att kunna formulera urvalsaxiomet (ofta förkortat AC, från engelskans "Axiom of Choice"), som är det axiom som läggs till ZF för att få ZFC, krävs en definition.

Definition: Antag att x är en mängd av icke-tomma mängder. En urvalsfunktion på x är en funktion f med domän x sådan att f(y) \in y för alla y \in x. f plockar alltså ut precis ett objekt ur varje element i x.

9. Urval.

Varje mängd av icke-tomma mängder har en urvalsfunktion.

Det finns en uppsjö av ekvivalenta formuleringar av urvalsaxiomet, till exempel påståendet att alla mängder kan välordnas.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]