Monoid
En monoid är inom abstrakt algebra ett par (ofta säger man bara och menar hela monoiden), där är en mängd och är en binär operator på , vilken lyder följande regler:
- slutenhet: för alla i , är i (detta följer egentligen direkt ur att * är en binär operator, och behöver inte specificeras separat)
- neutralt element: det finns ett element i , så att för alla i , .
- associativitet: * är en associativ operator; det vill säga, för alla i .
Med andra ord är en monoid en semigrupp med ett neutralt element.
En kommutativ monoid eller abelsk monoid är en monoid där operatorn även är kommutativ, dvs.:
- för alla i .
sägs vara en submonoid till en monoid om är en delmängd till , innehåller det neutrala elementet och för alla i så ligger även i . är då även monoid i sig själv.
Exempel[redigera | redigera wikitext]
Naturliga talen[redigera | redigera wikitext]
De naturliga talen, , med additionsoperatorn bildar en abelsk monoid med det neutrala elementet 0.
Man kan också bilda en monoid med multiplikationsoperatorn , som även den är abelsk, med det neutrala elementet 1.
Strängar[redigera | redigera wikitext]
Mängden av alla ändliga strängar över ett alfabet bildar en monoid med konkatenering som operator och den tomma strängen som neutralt element.
Monoidhomomorfier[redigera | redigera wikitext]
En homomorfi mellan två monoider, och , är en funktion som uppfyller:
där och är neutrala element för respektive .
Om en monoidhomomorfi är bijektiv kallas den för isomorfi, och två monoider som har en monoidisomorfi mellan sig kallas isomorfa.
Se även[redigera | redigera wikitext]
- Slå upp monoid i ordlistan Wiktionary.