Weierstrass elliptiska funktion

Inom matematiken är Weierstrass elliptiska funktion en elliptisk funktion uppkallad efter Karl Weierstrass. Funktionen betecknas vanligen med $\wp$.

Symbolen för Weierstrass $\wp$-funktion

Modell av Weierstrass $\wp$-funktion

Definition

Weierstrass P-funktion definierad över en delmängd av det komplexa planet. Vit motsvarar en pol, svart ett nollställe och maximal färgmättnad betyder att $\left|f(z)\right|=\left|f(x+iy)\right|=1\;.$

Weierstrass elliptiska funktion kan definieras på tre nära relaterade sätt. Den första definitionen är som en funktion av en komplex variabel z och ett gitter Λ i övre planhalvan. En annan definition är med hjälp av z och två komplexa tal ω₁ och ω₂ som genererar och utgör ett periodpar för gittret. Den tredje definitionen är med hjälp av z och ett komplext tal τ i övre planhalvan. Den här är relaterad till den förra definitionen enligt τ = ω₂/ω₁. Då bildar Weierstrass funktion för fixerat z en modulär funktion av τ.

Med hjälp av perioderna är Weierstrass elliptiska funktion en elliptisk funktion med perioder ω₁ och ω₂ definierad som

$\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}\left\{{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}.$

Då är $\Lambda =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ punkterna vid periodgittret, så att

$\wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})$

för ett godtyckligt par av generatorer av gittret definierar Weierstrass $\wp$-funktion en funktion av en komplex variabel och ett gitter.

Om $\tau$ är ett komplext tal i övre planhalvan är

$\wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}\left\{{1 \over (z+m+n\tau )^{2}}-{1 \over (m+n\tau )^{2}}\right\}.$

Summan ovan är homogen av grad minus två, från vilket vi kan definiera $\wp$-funktion för ett godtyckligt periodpar som

$\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\wp ({\frac {z}{\omega _{1}}};{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}})}{\omega _{1}^{2}}}.$

Weierstrass $\wp$-funktion kan beräknas väldigt snabbt med hjälp av thetafunktioner enligt formeln

$\wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}-{\pi ^{2} \over {3}}\left[\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )\right]$

Invarianterna

Reella delen av invarianten g₃ som en funktion av q i enhetsdisken.

Imaginära delen av invarianten g₃ som en funktion av q i enhetsdisken.

I en omgivning av origo är Laurentserien av $\wp$

$\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=z^{-2}+{\frac {1}{20}}g_{2}z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}z^{4}+O(z^{6})$

där

$g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}$

$g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}.$

Talen g₂ och g₃ är kända som invarianterna. Summorna efter koefficienterna 60 och 140 är de två första Eisensteinserierna, som är modulära former då de betraktas som funktioner G₄(τ) respektive G₆(τ)) av τ = ω₂/ω₁ med Im(τ) > 0.

Notera att g₂ och g₃ är homogena funktioner av grader −4 och −6; i andra ord,

$g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})$

$g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).$

Därför skrivs vanligen $g_{2}$ och $g_{3}$ med hjälp av periodkvotet $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$ där $\tau$ antas vara i övre planhalvan som $g_{2}(\tau )=g_{2}(1,\omega _{2}/\omega _{1})$ och $g_{3}(\tau )=g_{3}(1,\omega _{2}/\omega _{1})$.

Fourierserien av $g_{2}$ and $g_{3}$ kan skrivas med hjälp av variabeln $q=\exp(i\pi \tau )$ som

$g_{2}(\tau )={\frac {4\pi ^{4}}{3}}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]$

$g_{3}(\tau )={\frac {8\pi ^{6}}{27}}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]$

där $\sigma _{a}(k)$ är sigmafunktionen. Denna formel kan skrivas med hjälp av Lambertserier.

Invarianterna kan skrivas med hjälp av Jacobis thetafunktioner. Denna metod är väldigt användbar för numeriska räkningar emedan thetafunktionernas serier konvergerar väldigt snabbt. I beteckningen av Abramowitz och Stegun, men genom att beteckna de primitiva halvperioderna med $\omega _{1},\omega _{2}$, satisfierar invarianterna

$g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\pi ^{4}}{12\omega _{1}^{4}}}(a^{8}-a^{4}b^{4}+b^{8})={\frac {\pi ^{4}}{6\omega _{1}^{4}}}(a^{8}+b^{8}+c^{8})$

$g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\pi ^{6}}{({\sqrt {6}}\,\omega _{1})^{6}}}(a^{12}-33a^{8}b^{4}-33a^{4}b^{8}+b^{12})$

där

$a=\theta _{2}(0;q)=\vartheta _{10}(0;\tau )$

$b=\theta _{3}(0;q)=\vartheta _{00}(0;\tau )$

$c=\theta _{4}(0;q)=\vartheta _{01}(0;\tau )$

och $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$ är periodkvotet, $q=e^{\pi i\tau }$ och $\theta _{m}$ och $\vartheta _{n}$ är alternativa beteckningar.

Differentialekvation

Weierstrass funktion satisfierar differentialekvationen

$[\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}.\,$

Integralekvation

Weierstrass elliptiska funktion kan ges som inversen av en elliptisk integral. Låt

$u=\int _{y}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.$

där g₂ och g₃ ses som konstanter. Då är

$y=\wp (u).$

Detta följer direkt genom att integrera differentialekvationen.

Konstanterna e₁, e₂ och e₃

Betrakta tredjegradsekvationen 4t³ − g₂t − g₃ = 0 med rötterna e₁, e₂ och e₃. Dess diskriminant är 16 gånger den modulära diskriminanten Δ = g₂³ − 27g₃². Om den inte är noll är alla dessa rötter skilda. Eftersom den kvadratiska termen av detta kubiska polynom är noll är rötterna relaterade enligt ekvationen

$e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.\,$

De linjära och konstanta koefficienterna (g₂ och g₃) är relatrede till rötterna enligt ekvationerna (se elementära symmetriska polynom).

$g_{2}=-4\left(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3}\right)=2\left(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}\right)$

$g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}.$

Rötterna e₁, e₂ och e₃ av ekvationen $4X^{3}-g_{2}X-g_{3}$ beror på τ och kan skrivas med hjälp av Jacobis thetafunktioner.Som tidigare, låt

$a=\theta _{2}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{10}(0;\tau )$

$b=\theta _{3}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{00}(0;\tau )$

$c=\theta _{4}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{01}(0;\tau ),$

då är

$e_{1}(\tau )={\tfrac {1}{3}}\pi ^{2}(b^{4}+c^{4})$

$e_{2}(\tau )={\tfrac {1}{3}}\pi ^{2}(-a^{4}-b^{4})$

$e_{3}(\tau )={\tfrac {1}{3}}\pi ^{2}(a^{4}-c^{4}).$

Eftersom $g_{2}=2\left(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}\right)$ och $g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}$ kan även dessa skrivas med hjälp av thetafunktioner. I förenklad form är

$g_{2}(\tau )={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}(a^{8}+b^{8}+c^{8})$

$g_{3}(\tau )={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}$

$\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}.$

I fallet av reella invarianter bestämmer tecknet av Δ = g₂³ − 27g₃² naturen av rötterna. Om $\Delta >0$ är alla tre rötterna reella och det är konventionellt att namge dem så att $e_{1}>e_{2}>e_{3}$. Om $\Delta <0$ är det konventionellt att skriva $e_{1}=-\alpha +\beta i$ (där $\alpha \geq 0$, $\beta >0$), av vilket $e_{3}={\overline {e_{1}}}$ följer, och $e_{2}$ är rellt och icke-negativt.

Halvperioderna ω₁/2 and ω₂/2 av Weierstrass elliptiska funktion är relaterade till rötterna enligt

$\wp (\omega _{1}/2)=e_{1}\qquad \wp (\omega _{2}/2)=e_{2}\qquad \wp (\omega _{3}/2)=e_{3}$

där $\omega _{3}=-(\omega _{1}+\omega _{2})$. Eftersom kvadraten av derivatan av Weierstrass elliptiska funktion är lika med den kubiska funktionen ovan av funktionens värde är $\wp '(\omega _{i}/2)^{2}=\wp '(\omega _{i}/2)=0$ för $i=1,2,3$. Om igen funktionens värde är lika med en rot av polynomet är derivatan lika med noll.

Om g₂ och g₃ är reella och Δ > 0 är e_i alla reella, och $\wp ()$ är rell vid randen av rektangeln med hörnen 0, ω₃, ω₁ + ω₃ och ω₁. Om rötterna ordnas såsom ovan (e₁ > e₂ > e₃) är första halvperioden reell:

$\omega _{1}/2=\int _{e_{1}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}$

emedan den tredje halvperioden är rent imginär:

$\omega _{3}/2=i\int _{-e_{3}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}.$

Additionformler

Weierstrass elliptiska funktion satisfierar flera intressanta identiteter:

$\det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{bmatrix}}=0$

(en symmetrik version är

$\det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{bmatrix}}=0$

där u + v + w = 0).

Den satisfierar även

$\wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y)$

och

$\wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z)$

bara 2z inte är en period.

Referenser

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Weierstrass's elliptic functions, 11 februari 2014.

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., reds. (1965), ”Chapter 18”, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, s. 627, ISBN 978-0486612720 
• N. I. Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
• K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
• Konrad Knopp, Funktionentheorie II (1947), Dover; Republished in English translation as Theory of Functions (1996), Dover ISBN 0-486-69219-1
• Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
• Reinhardt, William P.; Walker, Peter L. (2010), ”Weierstrass Elliptic and Modular Functions”, i Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. m.fl., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, , ISBN 978-0521192255 
• E.T. Whittaker och G.N. Watson, A course of modern analysis, Cambridge University Press, 1952, chapters 20 and 21

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Weierstrass elliptiska funktion.
  Bilder & media
• Hazewinkel, Michiel, red. (2001), ”Weierstrass elliptic functions”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 
• Weierstrass elliptiska funktion på MathWorld (engelska)
• Elliptiska funktioner, Hans Lundmarks sida för komplex analys (engelska)