Redigerar Polygon

{{För|webbplatsen|Polygon (webbplats)}}
'''Polygoner''' eller '''månghörningar''' är ett samlingsnamn för [[tvådimensionell]]a [[geometrisk figur|geometriska figurer]] i form av slutna kurvor bestående av ett ändligt antal räta linje[[segment (geometri)|segment]]  i [[plan (geometri)|planet]]. Med undantag av [[triangel]]n och [[fyrhörning]]en (trapetset), har dessa namn efter motsvarande [[grekiska räkneord]] med [[efterled]]et ''-gon'', från grekiska ordet för ''[[vinkel]]''; se listan till höger.

De sträckor som utgör delarna av [[rand (geometri)|randen]] kallas polygonens [[sida (geometri)|sidor]] och sidornas ändpunkter kallas polygonens [[hörn]] eller vertices (singular vertex). Alla polygoner har lika många sidor som hörn. Polygoner i vilka alla inre vinklar är mindre än 180 grader kallas [[konvex polygon|konvexa]]; om någon inre vinkel är större än 180 grader är polygonen konkav. Polygon är det tvådimensionella fallet av det mer allmänna [[polytop]].

== Regelbundna polygoner ==
I '''regelbundna''' eller '''reguljära''' polygoner, är alla sidor lika långa och alla vinklar lika stora. Dit hör
* [[Liksidig triangel]]
* [[Kvadrat]]
* [[Regelbunden pentagon]]
* [[Regelbunden hexagon]] etc.

En regelbunden polygon har [[Schläfli-symbol]]en <math>\left\{ n \right\}</math> där <math>n</math> anger antalet hörn (eller sidor).

== Area ==
Arean hos en polygon med ''n'' sidor kan beräknas som summan av areorna hos ''n'' - 2 trianglar, som kan bildas genom att dra ''n'' - 3 icke-skärande [[Diagonal (geometri)|diagonal]]er mellan icke närliggande hörn.
:'''Exempel:''' Om vi i en fyrhörning drar en linje mellan två hörn som inte ligger intill varandra delas fyrhörningen i två trianglar ('''fyra''' hörn, '''två''' trianglar, '''en''' linje). För varje hörn vi lägger till måste vi dra en linje till och får som resultat en triangel till.

Om koordinaterna till en polygons hörn är kända, kan arean beräknas med hjälp av [[koordinatareaformeln]].

Arean av en regelbunden <math>n</math>-hörning med sidlängden <math>s</math> är:
:<math>A = \frac{ns^{2}}{4}\cot \frac{\pi}{n}</math>

:'''Härledning'''
:Med den [[inskriven cirkel|inskrivna cirkelns]] radie som <math>r</math> och polygonens sidlängd som <math>s</math> får vi arean <math>A_{\triangle}</math> av den rätvinkliga triangeln med katetlängderna <math>r</math> och <math>\frac{s}{2}</math> till
::<math>A_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \frac{s}{2} \cdot r \Leftrightarrow A_{\triangle} = \frac{s}{4} \cdot r</math>
:Vi har att
::<math>\cot \alpha = \frac{r}{\left(\frac{s}{2}\right)} = \frac{2r}{s} \Leftrightarrow r= \frac{s\cdot \cot \alpha}{2}</math>
:där <math>\alpha</math> är denna triangels hörnvinkel i polygonens (och dess inskrivna cirkel) mittpunkt.
:Vi har också att polygonen består av <math>2n</math> sådana här trianglar, alltså
::<math>2 \cdot \alpha \cdot n = 2\pi \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{n}</math>
:och sålunda:
::<math>A= 2n \cdot A_{\triangle} = 2n \cdot \frac{s}{4} \cdot r = \frac{ns}{2} \cdot \frac{s\cdot \cot \alpha}{2} = \frac{ns^2}{4}\cdot \cot \frac{\pi}{n}</math>

== Vinklar ==
Vinkelsumman i en polygon med n hörn är <math>\pi \cdot n - 2\pi</math> radianer. Detta kan visas genom att välja en godtycklig punkt inne i polygonen och från denna dra sträckorna till polygonens samtliga hörn. Då bildas ''n'' stycken trianglar, alla med vinkelsumman <math>\pi</math>. Drar man sedan bort summan av vinklarna kring den valda punkten i polygonen, vilka är <math>2\pi</math>, kvarstår summan av polygonens vinklar.

Hörnvinklarna i en regelbunden polygon är <math>\textstyle{\frac{n-2}{n}\pi}</math>.

== Datorgrafik ==
Inom datorgenererad grafik används polygoner för att bygga upp nästan all grafik inom såväl datoranimerad film som datorspel.

<gallery>
Bild:Complex polygon.svg |Komplex polygon
Bild:Simple polygon.svg |Enkel konkav polygon
Bild:Regular heptagon.svg |Regelbunden polygon
</gallery>

== Lista över polygoner ==
{| class="wikitable"
|-
! Namn !! Hörn !! Anmärkningar
|-
| [[Henagon]] <br>(eller monogon) || 1 || I det euklidiska planet degenererar den till en sluten kurva med en enda hörnpunkt på den. Enligt vissa definitioner av en polygon är en henagon inte en äkta polygon.
|-
| [[Digon]] || 2 || I det euklidiska planet degenererar den till en sluten kurva med två hörnpunkter.
|-
| [[Triangel]] <br>(eller trigon) || 3 || Den enklaste polygonen som kan existera i det euklidiska planet.
|-
| [[Tetragon]] || 4 || Den enklaste polygonen vars sidor kan korsa sig, den enklaste polygonen som kan vara konkav. En regelbunden tetragon kallas [[kvadrat]], en liksidig men ej rätvinklig tetragon kallas [[romb]], en rätvinklig men ej liksidig tetragon kallas [[rektangel]].
|-
| [[Pentagon]] || 5 || Den enklaste polygonen som kan existera som en regelbunden stjärna. En femhörnig stjärnpolygon kallas även [[pentagram]].
|-
| [[Hexagon]] || 6 || 
|-
| [[Heptagon]] || 7 || Den enklaste polygonen där den regelbundna formen inte är konstruerbar med [[passare och linjal]]. Den kan dock konstrueras med användning av [[Neusis konstruktion]].
|-
| [[Oktogon]] || 8 || 
|-
| [[Nonagon]] <br>(eller enneagon) || 9 || 
|-
| [[Dekagon]] || 10 || 
|-
| [[Hendekagon]] <br>(eller undekagon) || 11 || Den enklaste polygonen där den regelbundna formen inte kan konstrueras med passare, linjal och [[vinkelns tredelning]].
|-
| [[Dodekagon]] || 12 || 
|-
| [[Tridekagon]] <br>(eller triskaidekagon) || 13 || 
|-
| [[Tetradekagon]] <br>(eller tetrakaidekagon) || 14 || 
|-
| {{Nowrap|[[Pentadekagon]]}} <br>{{Nowrap|(eller pentakaidekagon)&nbsp;}} || 15 || 
|-
| [[Hexadekagon]] <br>(eller hexakaidekagon) || 16 || 
|-
| [[Heptadekagon]] <br>(eller heptakaidekagon) || 17 || 
|-
| [[Oktadekagon]] <br>(eller octakaidekagon) || 18 || 
|-
| [[Nonadekagon]] <br>(eller enneadekagon) || 19 || 
|-
| [[Ikosagon]] || 20 || 
|-
| [[Ikosihenagon]] || 21 || 
|-
| [[Ikosidigon]] || 22 || 
|-
| [[Ikositrigon]] || 23 || 
|-
| [[Ikositetragon]] || 24 || 
|-
| [[Ikosipentagon]] || 25 || 
|-
| [[Triakontagon]] || 30 || 
|-
| [[Triakontadigon]] || 32 || 
|-
| [[Tetrakontagon]] || 40 || 
|-
| [[Tetrakontaoktogon]] || 48 || 
|-
| [[Pentakontagon]] || 50 || 
|-
| [[Hexakontagon]] || 60 || 
|-
| [[Hektogon]] <br>(eller centagon) || 100 || 
|-
| [[Chiliagon]] || 1000 || 
|-
| [[Myriagon]] || 10000 || 
|-
| [[Megagon]]<ref>{{Bokref |efternamn = Gibilisco |förnamn = Stan |titel = Geometry demystified |år = 2003 |utgivare = McGraw-Hill |utgivningsort = New York |isbn = 978-0-07-141650-4 |upplaga = Online-Ausg. }}</ref><ref name=Darling>Darling, David J., ''[http://books.google.com/books?id=0YiXM-x--4wC&pg=PA249&dq=polygon+megagon&hl=en&sa=X&ei=0TE4T7jOMc-G0QGH1ezGAg&ved=0CDgQ6AEwAA#v=onepage&q=polygon%20megagon&f=false The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes]'', John Wiley & Sons, 2004. Page 249. {{ISBN|0-471-27047-4}}.</ref><ref>Dugopolski, Mark, ''[http://books.google.com/books?id=l8tWAAAAYAAJ College Algebra and Trigonometry]'', 2nd ed, Addison-Wesley, 1999. Page 505. {{ISBN|0-201-34712-1}}.</ref> || 1000000 || 
|-
| [[Apeirogon]] || <math>\infty</math> || En degenererad polygon med oändligt många sidor.
|}

== Se även ==
* [[Polyeder]]
* [[Polygontåg]]
* [[Arealteori för polygoner]]

==Referenser==
<references>
</references>

{{Geometriska figurer}}
{{Polygoner}}
{{Auktoritetsdata}}
[[Kategori:Polygoner| ]]
[[Kategori:Grundläggande matematik]]