Absolutkonvergens

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Absolutkonvergens är en matematisk definition angående seriers konvergens.

En serie (en oändlig summa) \sum_{n=0}^\infty a_n definieras som absolutkonvergent om serien \sum_{n=0}^\infty |a_n| är konvergent. Det går att visa att om en serie är absolutkonvergent, så är den även konvergent.

Omvänt, om en serie är konvergent, men inte absolutkonvergent, så kallas den betingat konvergent.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Serien \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} är konvergent eftersom den är absolutkonvergent, det vill säga \sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right|=\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{1}{n^2}\right|=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.

Leibnizserien \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} är betingat konvergent, eftersom serien är konvergent medan den harmoniska serien \sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| är divergent.