Algebraisk talteori

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Algebraisk talteori är en gren inom talteorin där talområdet utvidgas till att också omfatta algebraiska tal, vilka är nollställen till polynom med koefficienter som är heltal. Denna mängd innehåller element som är analoga med heltal och som kallas algebraiska heltal. För dessa behöver inte välbekanta egenskaper, som till exempel unik faktorisering, längre gälla. De verktyg som används - galoisteori, representationsteori, gruppkohomologi, klasskroppsteori och L-funktioner - ger dessa talområden en partiell ordningsstruktur.

Ett stort antal teoretiska frågeställningar behandlas genom att studera heltalen modulo p för alla primtal p i ändliga kroppar. Detta kallas lokalisation och leder fram till konstruktionen av p-adiska tal. Denna typ av studier, som uppstått ur algebraisk talteori, kallas lokal analys.

Historia[redigera | redigera wikitext]

Fermat[redigera | redigera wikitext]

Fermats stora sats förmodades av Pierre de Fermat 1637. Inget korrekt bevis hittades före 1995, då Andrew Wiles bevisade den. Försök att bevisa satsen motiverade matematiker att utveckla algebraisk talteori på 1800-talet.

Artin[redigera | redigera wikitext]

Emil Artin bevisade Artins reciprocitetssats i en serie artiklar (1924; 1927; 1930). Hans sats är ett viktigt resultat inom talteori och bildar en central del av global klasskroppsteori. Artins resultat ger en partiell lösning till Hilberts nionde problem.