André–Quillenkohomologi

Inom kommutativ algebra är André–Quillenkohomologi en kohomologiteori för kommutativa ringar som är nära relaterad till kotangenskomplexet. De första tre kohomologigrupperna introducerades av Lichtenbaum & Schlessinger (1967) och kallas ibland Lichtenbaum–Schlessinger-funktorerna T⁰, T¹, T², och de högre grupperna definierades oberoende av Michel André och Daniel Quillen genom att använda homotopiteori. En parallell homologiteori är André–Quillenhomologi.

Definition

Låt B vara en A-algebra och låt M vara en B-modul. Låt P vara en simplicial kofibrant A-algebraresolution av B. André betecknar den q-te kohomologigruppen av B över A med koefficienter i M med H^q(A, B, M), emedan Quillen betecknar samma grupp som D^q(B/A, M). Den q-te André–Quillen-kohomologigruppen är

$D^{q}(B/A,M)=H^{q}(A,B,M){\stackrel {\text{def}}{=}}H^{q}(\operatorname {Der} _{A}(P,M)).$

Den q-te André–Quillen-homologigruppen är:

$D_{q}(B/A,M)=H_{q}(A,B,M){\stackrel {\text{def}}{=}}H_{q}(\Omega _{P/A}\otimes _{B}M).$

Låt L_B/A vara det relativa kotangenskomplexet av B över A. Då har vi formlerna

$D^{q}(B/A,M)=H^{q}(\operatorname {Hom} _{B}(L_{B/A},M))$

$D_{q}(B/A,M)=H_{q}(L_{B/A}\otimes _{B}M).$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, André–Quillen cohomology, 31 maj 2014.

• André, M. (1974), Homologie des Algèbres Commutatives, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, "206", Springer-Verlag 
• Lichtenbaum, Stephen; Schlessinger, M. (1967), ”The cotangent complex of a morphism”, Transactions of the American Mathematical Society 128: 41–70, doi:10.2307/1994516, , ISSN 0002-9947, http://www.jstor.org/stable/1994516 
• Quillen, Daniel G., Homology of commutative rings, unpublished notes, http://web.archive.org/web/form-submit.jsp?url=http://chromotopy.org/paste/quillen.djvu (Öppnas med DjVu bildvisningsprogram)
• Quillen, Daniel (1970), On the (co-)homology of commutative rings, Proc. Symp. Pure Mat., "XVII", American Mathematical Society 
• Weibel, Charles A. (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, "38", Cambridge University Press, , ISBN 978-0-521-43500-0, http://books.google.com/books?id=flm-dBXfZ_gC