Argumentprincipen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Argumentprincipen är ett resultat inom komplex analys som uttrycker en analytisk funktions uppförande i ett givet område givet uppförandet på områdets rand.

Formulering[redigera | redigera wikitext]

Låt f vara analytisk och nollskild på och innanför den slutna kurvan γ, med undantag för ändligt många punkter, alla innanför γ, där alla eventuella singulariteter är poler. Då gäller:

\frac{1}{2\pi i}\oint _\gamma \frac{f^\prime (z) }{f(z)} dz = N - P, där N och P är antalet nollställen respektive poler, inräknat multiplicitet.
  • Man kan visa att 2π(N - P) är argumentvariationen av f(z)z genomlöper kurvan γ.
  • Då tillämpar argumentprincipen på polynom, som saknar poler och kan faktoriseras givet dess nollställen, visar sig argumentprincipen ge uttryck för följande intuitiva sanning:

Om man mäter vinkeln från en viss punkt P till en punkt genomlöpande randen till ett givet område, så ökar vinkeln med 2π om och endast om punkten ligger i området, med 0 om och endast om punkten ligger utanför. Notera att argumentet av noll ej är definierat, så att argumentvariationen ej är definierad då punkten ligger i områdets rand.

Se även[redigera | redigera wikitext]