Aritmetisk funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En aritmetisk funktion (eller talteoretisk funktion) f(n) är inom talteorin en funktion med definitionsmängd alla positiva heltal och målmängd de komplexa talen. Med andra ord är en aritmetisk funktion en följd av komplexa tal.

De viktigaste aritmetiska funktionerna är de additiva och de multiplikativa.

En viktig operation på de aritmetiska funktionerna är Dirichletfaltning.

Multiplikativa och additiva funktioner[redigera | redigera wikitext]

En aritmetisk funktion a är

En aritmetisk funktion a är

  • additiv om a(mn) = a(m) + a(n) för alla relativt prima naturliga tal m och n;
  • multiplikativ om a(mn) = a(m)a(n) för alla naturliga tal m och n.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Multiplikativa funktioner[redigera | redigera wikitext]

φ(n) – Eulers fi-funkion[redigera | redigera wikitext]

φ(n), Eulers fi-funktion, är antalet positiva heltal mindre än n som är relativt prima till n.

\varphi(n) = n \prod_{p|n} \left(1-\frac{1}{p}\right)
=n \left(\frac{p_1 - 1}{p_1}\right)\left(\frac{p_2 - 1}{p_2}\right) \ldots \left(\frac{p_{\omega(n)} - 1}{p_{\omega(n)}}\right)
.

μ(n) - Möbiusfunktionen[redigera | redigera wikitext]

μ(n), Möbiusfunktionen, är viktig eftersom den förekommer i Möbius inversionsformel. Den definieras som

\mu(n)=\begin{cases} (-1)^{\omega(n)}=(-1)^{\Omega(n)} &\mbox{om }\; \omega(n) = \Omega(n)\\
0&\mbox{om }\;\omega(n) \ne \Omega(n).\end{cases}

τ(n) – Ramanujans taufunktion[redigera | redigera wikitext]

τ(n), Ramanujans taufunktion, definieras som

\sum_{n\geq 1}\tau(n)q^n=q\prod_{n\geq 1}(1-q^n)^{24}.

Fullständigt multiplikativa funktioner[redigera | redigera wikitext]

λ(n) – Liouvilles funktion[redigera | redigera wikitext]

λ(n), Liouvilles lambda-funktion, definieras som

\lambda (n) = (-1)^{\Omega(n)}.\;

Additiva funktioner[redigera | redigera wikitext]

ω(n) – antalet skilda primtalsdelare[redigera | redigera wikitext]

Funktionen ω(n), definierad som antalet skilda primtal som delar n, är additiv.

Funktioner som är varken multiplikativa eller additiva[redigera | redigera wikitext]

  • c4(n) - antalet sätt som n kan uttryckas som summan av fyra kvadrater på icke-negativa heltal, där man gör skillnad på summandernas ordning. Till exempel:
1 = 12+02+02+02 = 02+12+02+02 = 02+02+12+02 = 02+02+02+12,
dvs c4(1)=4.
  • P(n), Partitionsfunktionen - antalet representationer av n som summan av positiva heltal där man inte skiljer på summandernas ordning.

Till exempel: P(2 · 5) = P(10) = 42 och P(2)P(5) = 2 · 7 = 14 ≠ 42.

  • π(n), Primtalsfunktionen - antalet primtal mindre än eller lika med ett givet tal n. Det gäller att π(1) = 0 och π(10) = 4 (primtalen under 10 är 2, 3, 5 och 7).

Λ(n) – Mangoldtfunktionen[redigera | redigera wikitext]

Λ(n), Mangoldtfunktionen, är 0 förutom då argumentet är en primtalspotens, då den är logaritmen av primtalet:

\Lambda(n) = \begin{cases}\log p &\mbox{om } n = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\ldots=p^k \mbox{ är en primtalspotens}\\
0&\mbox{om } n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\;\;\;\mbox{ annars}.
\end{cases}

rk(n) – summor av k kvadrater[redigera | redigera wikitext]

rk(n) är antalet representationer av n som summan av k kvadrater, där representationer som skiljer sig enbart i ordningen av termerna eller deras tecken räknas som skilda

r_k(n) = |\{(a_1, a_2,\dots,a_k):n=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2\}|.

Summafunktioner[redigera | redigera wikitext]

Givet en aritmetisk funktion a(n) definieras dess summafunktion A(x) som

 A(x) := \sum_{n \le x} a(n) .

A kan ses som en funktion av en reell variabel. Givet ett positivt heltal m är A konstant i det öppna intervallet m < x < m + 1 och har en diskontinuitet vid varje heltal n för vilket a(n) ≠ 0.

Summafunktioner representeras ofta med hjälp av serier och integraler. För att få summafunktionerna kontinuerliga definieras de vanligen vid diskontinuiteter som medelvärdet av värdena till höger och vänster om diskontinuiteten:

 A_0(m) := \frac12\left(\sum_{n < m} a(n) +\sum_{n \le m} a(n)\right) = A(m) - \frac12 a(m) .

Individuella värden av aritmetiska funktioner kan variera mycket. Summafunktionerna varierar i allmänhet mindre. I flera fall går det att hitta asymptotiska formler för summafunktionen för stora x.

Relationer mellan aritmetiska funktioner[redigera | redigera wikitext]

Dirichletfaltningar[redigera | redigera wikitext]


\sum_{\delta\mid n}\mu(\delta)=
\sum_{\delta\mid n}\lambda\left(\frac{n}{\delta}\right)|\mu(\delta)|=
\begin{cases}
&1\mbox{ if } n=1\\
&0\mbox{ if } n\ne1.
\end{cases}
    där λ är Liouvilles funktion.

\sum_{\delta\mid n}\varphi(\delta)=
n.
     
\varphi(n)
=\sum_{\delta\mid n}\mu\left(\frac{n}{\delta}\right)\delta
=n\sum_{\delta\mid n}\frac{\mu(\delta)}{\delta}.
  Möbiusinversion

\sum_{d | n } J_k(d) = n^k. \,

J_k(n)
=\sum_{\delta\mid n}\mu\left(\frac{n}{\delta}\right)\delta^k
=n^k\sum_{\delta\mid n}\frac{\mu(\delta)}{\delta^k}.
      Möbiusinversion

\sum_{\delta\mid n}\delta^sJ_r(\delta)J_s\left(\frac{n}{\delta}\right) = J_{r+s}(n)
     

\sum_{\delta\mid n}\varphi(\delta)d\left(\frac{n}{\delta}\right)=
\sigma(n).
     

\sum_{\delta\mid n}|\mu(\delta)|=
2^{\omega(n)}.
     
|\mu(n)|=\sum_{\delta\mid n}\mu\left(\frac{n}{\delta}\right)2^{\omega(\delta)}.
      Möbiusinversion

\sum_{\delta\mid n}2^{\omega(\delta)}=
d(n^2).
     
2^{\omega(n)}=\sum_{\delta\mid n}\mu\left(\frac{n}{\delta}\right)d(\delta^2).
      Möbiusinversion

\sum_{\delta\mid n}d(\delta^2)=
d^2(n).
     
d(n^2)=\sum_{\delta\mid n}\mu\left(\frac{n}{\delta}\right)d^2(\delta).
      Möbiusinversion

\sum_{\delta\mid n}d\left(\frac{n}{\delta}\right)2^{\omega(\delta)}=
d^2(n).
     

\sum_{\delta\mid n}\lambda(\delta)=\begin{cases}
&1\mbox{ om } n \mbox{ är en kvadrat }\\
&0\mbox{ om } n \mbox{ är inte en kvadrat.}
\end{cases}
    där λ är Liouvilles funktion.

\sum_{\delta\mid n}\Lambda(\delta)=
\log n.
     
\Lambda(n)=\sum_{\delta\mid n}\mu\left(\frac{n}{\delta}\right)\log(\delta).
      Möbiusinversion

Summor av kvadrater[redigera | redigera wikitext]


\mbox{Om }k \ge 4  \mbox{ är }\;\;\; r_k(n) > 0.     (Lagranges fyrakvadraterssats).

r_2(n) = 4\sum_{d|n}\chi(d),\;     där χ är den icke-principiella karaktären (mod 4).

r_4(n) =
8 \sum_{\stackrel{d\,|\,n}{ 4\, \nmid \,d}}d =
8 (2+(-1)^n)\sum_{\stackrel{d\,|\,n}{ 2\, \nmid \,d}}d =
\begin{cases}
8\sigma(n)&\mbox{om } n \mbox{ är udda }\\
24\sigma\left(\frac{n}{2^{\nu}}\right)&\mbox{if } n \mbox{ är jämn }
\end{cases}
    där ν = ν2(n).    

r_6(n) = 16 \sum_{d|n} \chi\left(\frac{n}{d}\right)d^2 - 4\sum_{d|n} \chi(d)d^2.
   

Definiera funktionen σk*(n) som

\sigma_k^*(n) = (-1)^{n}\sum_{d|n}(-1)^d d^k=
\begin{cases}
\sum_{d\,|\,n} d^k=\sigma_k(n)&\mbox{om } n \mbox{ är udda }\\
\sum_{\stackrel{d\,|\,n}{ 2\, \mid \,d}}d^k -\sum_{\stackrel{d\,|\,n}{ 2\, \nmid \,d}}d^k&\mbox{if } n \mbox{ är jämn}.
\end{cases}

Då är


r_8(n) = 16\sigma_3^*(n).\;
   

Definiera τ(x) = 0 om x inte är ett heltal.


r_{24}(n) = \frac{16}{691}\sigma_{11}^*(n) + \frac{128}{691}\left\{
(-1)^{n-1}259\tau(n)-512\tau\left(\frac{n}{2}\right)\right\}
   

Identiteter för sigmafunktionen[redigera | redigera wikitext]


\sigma_3(n) = \frac{1}{5}\left\{6n\sigma_1(n)-\sigma_1(n) + 12\sum_{0<k<n}\sigma_1(k)\sigma_1(n-k)\right\}.\;

\sigma_5(n) = \frac{1}{21}\left\{10(3n-1)\sigma_3(n)+\sigma_1(n) + 240\sum_{0<k<n}\sigma_1(k)\sigma_3(n-k)\right\}.\;

\begin{align}
\sigma_7(n)
&=\frac{1}{20}\left\{21(2n-1)\sigma_5(n)-\sigma_1(n) + 504\sum_{0<k<n}\sigma_1(k)\sigma_5(n-k)\right\}\\
&=\sigma_3(n) + 120\sum_{0<k<n}\sigma_3(k)\sigma_3(n-k).
\end{align}

\begin{align}
\sigma_9(n)
&= \frac{1}{11}\left\{10(3n-2)\sigma_7(n)+\sigma_1(n) + 480\sum_{0<k<n}\sigma_1(k)\sigma_7(n-k)\right\}\\
&= \frac{1}{11}\left\{21\sigma_5(n)-10\sigma_3(n) + 5040\sum_{0<k<n}\sigma_3(k)\sigma_5(n-k)\right\}.\;
\end{align}

\tau(n) = \frac{65}{756}\sigma_{11}(n) + \frac{691}{756}\sigma_{5}(n) - \frac{691}{3}\sum_{0<k<n}\sigma_5(k)\sigma_5(n-k),\;

Om vi definierar p(0) = 1 är


p(n)=\frac{1}{n}\sum_{1\le k\le n}\sigma(k)p(n-k).
.

Menons identitet[redigera | redigera wikitext]

1965 bevisade P. Kesava Menon


\sum_{\stackrel{1\le k\le n}{ \gcd(k,n)=1}} \gcd(k-1,n)
=\varphi(n)d(n).

Några generaliseringar är:


\sum_{\stackrel{1\le k_1, k_2, \dots, k_s\le n}{ \gcd(k_1,n)=1}} \gcd(k_1-1,k_2,\dots,k_s,n)
=\varphi(n)\sigma_{s-1}(n).

\sum_{\stackrel{1\le k_1, k_2, \dots, k_s\le n}{ \gcd(k_1,k_2,\dots,k_s,n)=1}} \gcd(k_1-a_1,k_2-a_2,\dots,k_s-a_s,n)^s
=J_s(n)d(n),

där a1, a2, ..., as är heltal, gcd(a1, a2, ..., as, n) = 1.


\sum_{\stackrel{1\le k\le m}{ \gcd(k,m)=1}} \gcd(k^2-1,m_1)\gcd(k^2-1,m_2)
=\varphi(n)\sum_{\stackrel{d_1\mid m_1} {d_2\mid m_2}} \varphi(\gcd(d_1, d_2))2^{\omega(\operatorname{lcm}(d_1, d_2))},

där m1 och m2 är udda, m = lcm(m1, m2).

Om f är en godtycklig aritmetisk funktion är


\sum_{\stackrel{1\le k\le n}{ \gcd(k,n)=1}} f(\gcd(k-1,n))
=\varphi(n)\sum_{d\mid n}\frac{(\mu*f)(d)}{\varphi(d)},

där * betyder Dirichletfaltning.

Övrigt[redigera | redigera wikitext]


\frac{6}{\pi^2}<\frac{\phi(n)\sigma(n)}{n^2}<1\;

\begin{align}
c_q(n)
&=\frac{\mu\left(\frac{q}{\gcd(q, n)}\right)}{\phi\left(\frac{q}{\gcd(q, n)}\right)}\phi(q)\\
&=\sum_{\delta|\gcd(q,n)}\mu\left(\frac{q}{\delta}\right)\delta;
\end{align}

Notera att  \phi(q) = \sum_{\delta|q}\mu\left(\frac{q}{\delta}\right)\delta.

c_q(1) = \mu(q)\;
c_q(q) = \phi(q)\;

\sum_{\delta|n}d^{\;3}(\delta) = \left(\sum_{\delta|n}d(\delta)\right)^2\;
Jämför med 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2
d(uv) = \sum_{\delta\;|\gcd(u,v)}\mu(\delta)d\left(\frac{u}{\delta}\right)d\left(\frac{v}{\delta}\right)\;
\sigma_k(u)\sigma_k(v) = \sum_{\delta\;|\gcd(u,v)}\delta^k\sigma_k\left(\frac{uv}{\delta^2}\right)\;
\tau(u)\tau(v) = \sum_{\delta\;|\gcd(u,v)}\delta^{11}\tau\left(\frac{uv}{\delta^2}\right)\;

Dirichletserier för några aritmetiska funktioner[redigera | redigera wikitext]

\sum_{n\ge 1} \frac{\mu(n)}{n^s} = \frac{1}{\zeta(s)}
\sum_{n\ge 1} \frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}
\sum_{n\ge 1} \frac{2^{\omega(n)}}{n^s} = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)}
\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n^s}
\frac{\zeta(s-k)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{J_k(n)}{n^s}
\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}
\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-2a)}{\zeta(2s-2a)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n^2)}{n^s}
\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}
 \zeta^2(s) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n)}{n^s}
 \frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n^2)}{n^s}
 \frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n)^2}{n^s}.
\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.
\frac {\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}.
\frac{\sigma_{1-s}(m)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{c_n(m)}{n^s}.
 \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{|\mu(n)|}{n^s} \equiv \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu^2(n)}{n^s}.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

http://www.math.kth.se/~laksov/gymnaset/prosjekter/backman.pdf