Inom matematiken är en automorf faktor ett visst slags analytisk funktion definierad över delgrupper av SL(2,R) som förekommer inom teorin av modulära former .
En automorf faktor av vikt k är en funktion
ν
:
Γ
×
H
→
C
{\displaystyle \nu :\Gamma \times \mathbb {H} \to \mathbb {C} }
som satisfierar fyra krav beskrivna nedan. Här betecknar
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
övre halvplanet och komplexa planet .
Γ
{\displaystyle \Gamma }
fuchsisk grupp . Ett element
γ
∈
Γ
{\displaystyle \gamma \in \Gamma }
γ
=
[
a
b
c
d
]
{\displaystyle \gamma =\left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right]}
med a , b , c , d reella tal med ad −bc =1.
En automorf faktor måste satisfiera:
1. För fixerat
γ
∈
Γ
{\displaystyle \gamma \in \Gamma }
ν
(
γ
,
z
)
{\displaystyle \nu (\gamma ,z)}
z
∈
H
{\displaystyle z\in \mathbb {H} }
2. För alla
z
∈
H
{\displaystyle z\in \mathbb {H} }
γ
∈
Γ
{\displaystyle \gamma \in \Gamma }
|
ν
(
γ
,
z
)
|
=
|
c
z
+
d
|
k
{\displaystyle \vert \nu (\gamma ,z)\vert =\vert cz+d\vert ^{k}}
för ett fixerat reellt tal k . 3. För alla
z
∈
H
{\displaystyle z\in \mathbb {H} }
γ
,
δ
∈
Γ
{\displaystyle \gamma ,\delta \in \Gamma }
ν
(
γ
δ
,
z
)
=
ν
(
γ
,
δ
z
)
ν
(
δ
,
z
)
.
{\displaystyle \nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z).}
4. Om
−
I
∈
Γ
{\displaystyle -I\in \Gamma }
z
∈
H
{\displaystyle z\in \mathbb {H} }
γ
∈
Γ
{\displaystyle \gamma \in \Gamma }
ν
(
−
γ
,
z
)
=
ν
(
γ
,
z
)
.
{\displaystyle \nu (-\gamma ,z)=\nu (\gamma ,z).}
Här är I enhetsmatrisen . Varje automorf faktor kan skrivas som
ν
(
γ
,
z
)
=
υ
(
γ
)
(
c
z
+
d
)
k
{\displaystyle \nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{k}}
med
|
υ
(
γ
)
|
=
1
{\displaystyle \vert \upsilon (\gamma )\vert =1}
Funktionen
υ
:
Γ
→
S
1
{\displaystyle \upsilon :\Gamma \to S^{1}}
multipelsystemet . Den har de lättbevisade egenskaperna
υ
(
I
)
=
1
{\displaystyle \upsilon (I)=1}
medan om
−
I
∈
Γ
{\displaystyle -I\in \Gamma }
υ
(
−
I
)
=
e
−
i
π
k
.
{\displaystyle \upsilon (-I)=e^{-i\pi k}.}
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia , Automorphic factor , 17 mars 2013 . Robert Rankin , Modular Forms and Functions , (1977) Cambridge University Press ISBN 0-521-21212-X . (Kapitel 3 handlar om automorfa faktorer för den modulära gruppen.) 
![{\displaystyle \gamma =\left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0461ebceddd9313f7edd2541aacad2a9ba9fc1c7)
