Avplattning

Avplattning eller ellipticitet avser en vanligen symmetrisk avvikelse från sfärisk eller cirkulär form. Ofta används måttet för att beskriva formen hos planeter eller andra himlakroppar som blir avplattade på grund av sin rotation.

Om a är avståndet från sfärens centrum till ekvatorn och b är avståndet från centrum till polen blir

avplattning\quad =\quad {\frac {a-b}{a}}.

Definitioner

Det finns tre varianter: plattningen $f,$ ^[1] kallas ibland den första avplattningen,^[2] samt två andra "avplattningar" $f'$ och $n,$ var och en kallas ibland den andra för plattan,^[3] ibland ges bara en symbol,^[4] eller ibland kallas den andra förplattan respektive tredje förplattan.^[5] I det följande,är $a$ den större dimensionen (till exempel halv huvudaxel), medan $b$ är den mindre (halv minoraxeln). Alla tillplattningar är noll för en cirkel (a = b).

(Första) avplattning	$f$	${\frac {a-b}{a}}$	Grundläggande. Geodetiska referensellipsoider specificeras genom att ge ${\frac {1}{f}}\,\!$
Andra avplattning	$f'$	${\frac {a-b}{b}}$	Grundläggande. Geodetiska referensellipsoider specificeras genom att ge
Tredje avplattning	$n$	${\frac {a-b}{a+b}}$	Används i geodetiska beräkningar som en liten expansionsparameter.^[6]

Identiteter

Avplattningarna kan relateras till varandra:

{\begin{aligned}f={\frac {2n}{1+n}},\\[5mu]n={\frac {f}{2-f}}.\end{aligned}}

Avplattningarna är relaterade till andra parametrar för ellipsen. Till exempel,

{\begin{aligned}{\frac {b}{a}}&=1-f={\frac {1-n}{1+n}},\\[5mu]e^{2}&=2f-f^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}},\\[5mu]f&=1-{\sqrt {1-e^{2}}},\end{aligned}}

där $e$ är excentriciteten.

Första och andra avplattningen

Första avplattningen uttrycks

{}_{\color {white}x}f={\mbox{ver}}(o\!\varepsilon )=2\sin ^{2}\left({\frac {o\!\varepsilon }{2}}\right)=1-\cos(o\!\varepsilon )={\frac {a-b}{a}};\,\!

medan andra avplattningen uttrycks

f'=\tan ^{2}\left({\frac {o\!\varepsilon }{2}}\right)={\frac {1-\cos(o\!\varepsilon )}{1+\cos(o\!\varepsilon )}}={\frac {a-b}{a+b}},\,\!

där a är längden på rotationsellipsoidens storaxel, b är längden på dess lillaxel och $o\!\varepsilon \,\!$ är dess vinkelexcentricitet.

Se även

Referensellipsoid

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Flattening, 18 februari 2025.

Noter

^ Snyder, John P. (1987). Map Projections: A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper. "1395". Washington, D.C.: U.S. Government Printing Office. doi:10.3133/pp1395. https://pubs.er.usgs.gov/publication/pp1395
^ Tenzer, Róbert (2002). ”Transformation of the Geodetic Horizontal Control to Another Reference Ellipsoid”. Studia Geophysica et Geodaetica 46 (1): sid. 27–32. doi:10.1023/A:1019881431482. https://www.proquest.com/docview/750849329.
^ For example, $f'$ is called the second flattening in: Taff, Laurence G. (1980). An Astronomical Glossary (Technical report). MIT Lincoln Lab. p. 84. However, $n$ is called the second flattening in: Hooijberg, Maarten (1997). Practical Geodesy: Using Computers. Springer. p. 41. doi:10.1007/978-3-642-60584-0_3.
^ Maling, Derek Hylton (1992). Coordinate Systems and Map Projections (2nd). Oxford; New York: Pergamon Press. sid. 65. ISBN 0-08-037233-3
Osborne, P. (2008). ”The Mercator Projections”. Arkiverad från originalet den 18 januari 2012. https://web.archive.org/web/20120118224152/http://mercator.myzen.co.uk/mercator.pdf. §5.2
^ Lapaine, Miljenko (2017). ”Basics of Geodesy for Map Projections”. i Lapaine, Miljenko; Usery, E. Lynn. Choosing a Map Projection. Lecture Notes in Geoinformation and Cartography. sid. 327–343. doi:10.1007/978-3-319-51835-0_13. ISBN 978-3-319-51834-3
Karney, Charles F.F. (2023). ”On auxiliary latitudes”. Survey Review: sid. 1–16. doi:10.1080/00396265.2023.2217604. https://arxiv.org/abs/2212.05818.
^ F. W. Bessel, 1825, Uber die Berechnung der geographischen Langen und Breiten aus geodatischen Vermessungen, Astron.Nachr., 4(86), 241–254, doi:10.1002/asna.201011352, translated into English by C. F. F. Karney and R. E. Deakin as The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements, Astron. Nachr. 331(8), 852–861 (2010), E-print arXiv:0908.1824, Bibcode: 1825AN......4..241B

Externa länkar

[snyder-1] Snyder, John P. (1987). Map Projections: A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper. "1395". Washington, D.C.: U.S. Government Printing Office. doi:10.3133/pp1395. https://pubs.er.usgs.gov/publication/pp1395

[2] Tenzer, Róbert (2002). ”Transformation of the Geodetic Horizontal Control to Another Reference Ellipsoid”. Studia Geophysica et Geodaetica 46 (1): sid. 27–32. doi:10.1023/A:1019881431482. https://www.proquest.com/docview/750849329.

[3] For example, $f'$ is called the second flattening in: Taff, Laurence G. (1980). An Astronomical Glossary (Technical report). MIT Lincoln Lab. p. 84. However, $n$ is called the second flattening in: Hooijberg, Maarten (1997). Practical Geodesy: Using Computers. Springer. p. 41. doi:10.1007/978-3-642-60584-0_3.

[4] Maling, Derek Hylton (1992). Coordinate Systems and Map Projections (2nd). Oxford; New York: Pergamon Press. sid. 65. ISBN 0-08-037233-3
Osborne, P. (2008). ”The Mercator Projections”. Arkiverad från originalet den 18 januari 2012. https://web.archive.org/web/20120118224152/http://mercator.myzen.co.uk/mercator.pdf. §5.2

[5] Lapaine, Miljenko (2017). ”Basics of Geodesy for Map Projections”. i Lapaine, Miljenko; Usery, E. Lynn. Choosing a Map Projection. Lecture Notes in Geoinformation and Cartography. sid. 327–343. doi:10.1007/978-3-319-51835-0_13. ISBN 978-3-319-51834-3
Karney, Charles F.F. (2023). ”On auxiliary latitudes”. Survey Review: sid. 1–16. doi:10.1080/00396265.2023.2217604. https://arxiv.org/abs/2212.05818.

[bessel-6] F. W. Bessel, 1825, Uber die Berechnung der geographischen Langen und Breiten aus geodatischen Vermessungen, Astron.Nachr., 4(86), 241–254, doi:10.1002/asna.201011352, translated into English by C. F. F. Karney and R. E. Deakin as The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements, Astron. Nachr. 331(8), 852–861 (2010), E-print arXiv:0908.1824, Bibcode: 1825AN......4..241B

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]