Båglängd

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Båglängd är längden av en kroklinje, båge, mellan två givna punkter.[1]

Beräkning av båglängd[redigera | redigera wikitext]

För att bestämma båglängden en hos en (icke-linjär) kurva delar man upp kurvan i olika segment med hjälp av räta linjer. Då det är lättare att beräkna längden hos en rät linje (Pythagoras sats) än en icke-rät linje. Den allra enklaste uppdelningen som går att göra är att sätta in en rät linje mellan kurvans ändpunkter och och sedan med hjälp av Pythagoras beräkna linjens längd. Då fås en ganska grov uppskattning av kurvans längd, problemet här är att vi inte kollat på hur kurvan ser ut mellan dessa punkter. Kurvan skulle till exempel kunna sticka iväg en bra bit uppåt i positiv y-riktning för att sedan vid ändpunkten vara nere på negativt y-värde.

För att kunna få med detta i beräkningen av längden delas istället kurvan upp i väldigt många korta räta linjer. Där varje rät linje har sin startpunkt och sin ändpunkt på kurvan så att de går utmed ursprungliga kurvan. Om då avståndet mellan startpunkten och ändpunkten på de små räta linjerna görs väldigt litet, fås något som liknar den ursprungliga kurvan fast med räta linjer. För att sedan få fram längden av denna nya kurva med räta linjer beräknas bara längden av alla små kurvsegment och summerar dessa.

Bild 1, Uppskattning med räta linjer.

Om nu kurvan där längden ska beräknas är linjär innebär det att den redan är en rät linje. Om det skulle göras likadant på denna som på en icke-linjär kurva skulle det inte hjälpa speciellt mycket, då uppskattningen skulle bli likadan som kurvan själv – vilket betyder att det är mycket lättare att räkna ut båglängden hos en linjär kurva.

Visualisering[redigera | redigera wikitext]

Ett enkelt exempel[redigera | redigera wikitext]

Bild 2, Uppskattning av båglängd för ett segment.

Betrakta kurvan , om vi vill uppskatta längden av den på ett givet intervall kommer vi att behöva dela upp kurvan i små segment . Där varje segment fås av

.

Om vi då kollar i bild 2 är det ganska lätt att föreställa sig att om och är väldigt små kommer att ligga väldigt nära den ursprungliga kurvan. Detta skulle i sådant fall bara ett av dessa segment, för att få en bra uppskattning krävs det ett godtyckligt antal av dessa segment (beror lite på hur kurvan ser ut). Man borde alltså kunna uppskatta hela kurvans längd med

Mer generell visualisering[redigera | redigera wikitext]

Om vi kollar på en kurva som ges av funktionen

Där f är en kontinuerlig funktion på det givna intervallet . Om vi studerar bild 2 och tänker oss att vi vill göra den indelningen på hela kurvan , vi vill alltså dela in intervallet i mindre delintervall med så kallade delningspunkter

och motsvarande punker , på kurvan.

Om vi då studerar två punkter och på kurvan för . Då kan man observera att längden av kurvan mellan dessa två punkter måste vara minst lika stor som längden mellan och som fås genom pythagoras sats, d.v.s.

.

Alltså måste hela kurvan ha en längd som är minst lika stor som summan av längden av alla dessa små delintervall,

.

Utöver detta bör även längden av hur nära den riktiga längden som helst med sådana summor uppskattas, om indelningarna av är tillräckligt små.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Definitionen av längden av en båglängd är[2]:

Om är en kontinuerlig funktion på ett intervall , definieras längden s av kurvan med ekvation , , genom att
,

Där är mängden av alla summor som kan bildas med delsningspunkter .

Här existerar som ett reellt tal enligt supremumaxiomet, ifall mängden är begränsad uppåt. I detta fall säger man också att kurvan är rektifierbar. Om inte skulle vara begränsa uppåt, tolkas definitionen så att kurvan har oändlig längd. Antag nu att även har kontinuerlig derivata på intervallet . Vi kan då visa att kurvan har ändlig längd och att den kan räknas ut med formeln

Bevis[redigera | redigera wikitext]

För varje val av delningspunkter gäller enligt medelvärdessatsen för derivator, att

med något tal för . Vi sätter in detta i och får

.

Den sista summan här är en Riemannsumma för funktionen på intervallet och enligt en sats för Riemannsummor[3] gäller att om finheten

kommer motsvarande summas värde att gå mot integralen

.

Kurvor på parameterform[redigera | redigera wikitext]

Om vi istället betraktar kurvan

och , ,

där g och h är kontinuerliga funktioner på ett intervall . Så kan man på liknande sätt som ovan bevisa att längden av denna kurva uppskattas med hjälp av integralen

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Exemplen är tagna ur Analys i en variabel, Forsling, Neymark

Ej på parameterform[redigera | redigera wikitext]

Beräkna längden av kurvan[4]

.

Vi använder oss av formeln

där . Insatt i formeln får vi då

via partialbråksuppdelning fås


Parameterform[redigera | redigera wikitext]

Beräkna längden av kurvan[5]

Vi använder oss då av formeln

där och . Alltså är och , om vi då sätter in detta formeln fås följande



.

Historiskt[redigera | redigera wikitext]

Antiken[redigera | redigera wikitext]

Under större delen av den matematiska historien ansåg man, även de främsta matematikerna att det var omöjlig att beräkna längden av en icke-rät linje. Trots att Arkimedes hade tagit fram ett sätt för att få fram arean under en kurva med exhaustionsmetoden, trodde väldigt få att det var möjligt för icke-räta kurvor att ha definierbara längder. Det var för när man använde sig av uppskattning som man började göra framsteg inom detta område. Det man gjorde var att man började rita in polygoner under kurvorna och beräknade längderna på dessa. Ju mindre man gjorde dessa polygoner och ju mer man ritade in desto bättre uppskattning av längden fick man. Till exempel lyckades Arkimedes uppskatta till genom att rita in en polygon med många sidor i en cirkel.

1600-talet[redigera | redigera wikitext]

Innan den formella utvecklingen av matematiska analysen hade Pierre de Fermat och Hendrik van Heuraet under 1600-talet tagit fram basen för den moderna integralformsom vi idag känner till. Det började med att Hendrik van Heuraet år 1659 publicerade ett bevis där han visade att problemet med att bestämma båglängden hos en kurva kunde överföras till att beräkna arean under kurvan. Som exempel hade han bestämt båglängden hos en parabel genom att först beräkna arean under kurvan.[6]År 1660 publicerade Fermat en mer generell teori angående detta, även han hade kommit fram till samma resultat. [7]

Bild 3, Fermats metod för att bestämma bådlängden.

Fermats metod för att bestämma båglängden byggde på hans tidigare verk angående tangenter, där han använde sig av kurvan

.

Vars tangent i punkten har lutningen

.

Alltså har tangentlinjen i punkten ekvationen

.

Sedan ökade han med ett litet tal , vilket medför att segmentet AC (bild 3) blir en relativt bra uppskattning av kurvans längd från A till D. För att då finna längden av segmentet AC använde han sig av Pythagoras sats

.

När man då tar kvadratroten ur detta får man

.

För att då uppskatta kurvans båglängd adderade Fermat flera korta segment och på så sätt fick han en relativt bra uppskattning av längden.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Båglängd, längden Svensk uppslagsbok 1955
  2. ^ Forsling, Neymark (2011), Matematisk analys i en variabel, s. 491-495, Liber, ISBN 978-91-47-10023-1
  3. ^ Matematisk analys i en variabel, Forsling och Neymark 2011, s. 299
  4. ^ Matematisk analys i en variabel, Forsling och Neymark 2011, uppgift 7.10a, s. 321
  5. ^ Matematisk analys i en variabel, Forsling och Neymark 2011, exempeluppgift 7.7, s. 319
  6. ^ Henricus van Heuraet, "Epistola de transmutatione curvarum linearum in rectas" (Letter on the transformation of curved lines into right ones [i.e., Letter on the rectification of curves]), Renati Des-Cartes Geometria, 2nd ed. (Amsterdam ["Amstelædami"], (Netherlands): Louis & Daniel Elzevir, 1659), pages 517-520.
  7. ^ "M.P.E.A.S." (pseudonym of Fermat) De Linearum Curvarum cum Lineis Rectis Comparatione Dissertatio Geometrica (Toulouse [Tolosæ], France: Arnaud Colomer, 1660).
  • Farouki, Rida T. (1999). Curves from motion, motion from curves. In P-J. Laurent, P. Sablonniere, and L. L. Schumaker (Eds.), Curve and Surface Design: Saint-Malo 1999, pp. 63–90, Vanderbilt Univ. Press. ISBN 0-8265-1356-5.

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]