Bézouts identitet

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Bézouts identitet är en sats inom talteori uppkallad efter Étienne Bézout som säger att för två heltal a och b med största gemensamma delare d går det att hitta heltal x och y så att

och att d är det minsta positiva heltalet som kan skrivas på formen ax + by.

Algoritm[redigera | redigera wikitext]

Talen x och y ovan kan beräknas genom den utökade Euklides algoritm, men lösningarna är inte unika. Om en lösning är känd ges de andra lösningarna av:

där k är ett godtyckligt heltal.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Givet två nollskilda heltal a och b, låt och . Mängden S är icketom eftersom exempelvis a eller -a är i mängden (tag x = ±1 och y = 0). Enligt välordningsprincipen har S ett minsta element . För att visa att d är den största gemensamma delaren till a och b visas att d delar båda talen samt att c är ett positivt heltal som delar a och b så gäller c < d.

Via divisionsalgoritmen fås

Resten r är i , eftersom

Eftersom d är det minsta positiva heltalet i S gäller således att r = 0 och d delar a. På samma vis fås att d delar b.

Nu, låt c vara en gemensam delare till a och b. Alltså finns sådant att a = cu och b = cv. Det följer att

Alltså är c en delare till d och därför gäller det att cd.