Banachs fixpunktssats

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Banachs fixpunktssats, är en matematisk sats inom analysen, som säger att en kontraktionsavbildning alltid har en unik fixpunkt. Satsen är uppkallad efter Stefan Banach, som formulerade den 1922.[1]

Banachs fixpunktssats[redigera | redigera wikitext]

Antag att är ett icke-tomt metriskt rum som är fullständigt, och att är en kontraktionsavbildning. har i så fall en unik fixpunkt. Det existerar således exakt ett element som uppfyller .

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Välj ett godtyckligt och konstruera sedan följden genom:

är en kontraktionsavbildning fås att:

För godtyckliga naturliga tal och med får vi nu, genom triangelolikheten och att , att:

Här kan högerledet göras godtyckligt litet, eftersom är fixt och när . Detta ger att följden är en Cauchyföljd och då är fullständigt finns det ett gränsvärde så att .

är i själva verket fixpunkten för , då

eftersom och kan göras godtyckligt litet för stora ( går mot ger att avståndet går mot noll).

Antag att det finns en annan fixpunkt för kallad , då vi får:

Men ger oss att , det vill säga .

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Banachs fixpunktssats kan användas till att bevisa många andra satser, däribland inversa funktionssatsen och Picard-Lindelöfs sats om existensen av och uniciteten hos lösningar till vissa ordinära differentialekvationer.

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Stefan Banach (1922). ”Sur les opérations dans les ensembles abstracts et leur application aux équations intégrales”. Fundamenta Mathematicae 3: sid. 133-181. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf. Läst 21 mars 2009. 

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 
  • Hille, Einar (1976). Ordinary Differential Equations in the Complex Domain. Dover Publications. ISBN 0-486-69620-0