Banachs fixpunktssats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Banachs fixpunktssats, är en matematisk sats inom analysen, som säger att en kontraktionsavbildning alltid har en unik fixpunkt. Satsen är uppkallad efter Stefan Banach, som formulerade den 1922.[1]

Banachs fixpunktssats[redigera | redigera wikitext]

Antag att är ett icke-tomt metriskt rum som är fullständigt, och att är en kontraktionsavbildning. har i så fall en unik fixpunkt. Det existerar således exakt ett element som uppfyller .

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Välj ett godtyckligt och konstruera sedan följden genom:

är en kontraktionsavbildning fås att:

För godtyckliga naturliga tal och med får vi nu, genom triangelolikheten och att , att:

Här kan högerledet göras godtyckligt litet, eftersom är fixt och när . Detta ger att följden är en Cauchyföljd och då är fullständigt finns det ett gränsvärde så att .

är i själva verket fixpunkten för , då

eftersom och kan göras godtyckligt litet för stora ( går mot ger att avståndet går mot noll).

Antag att det finns en annan fixpunkt för kallad , då vi får:

Men ger oss att , det vill säga .

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Banachs fixpunktssats kan användas till att bevisa många andra satser, däribland inversa funktionssatsen och Picard-Lindelöfs sats om existensen av och uniciteten hos lösningar till vissa ordinära differentialekvationer.

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Stefan Banach (1922). ”Sur les opérations dans les ensembles abstracts et leur application aux équations intégrales”. Fundamenta Mathematicae 3: sid. 133-181. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf. Läst 21 mars 2009. 

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 
  • Hille, Einar (1976). Ordinary Differential Equations in the Complex Domain. Dover Publications. ISBN 0-486-69620-0