Banachs fixpunktssats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Banachs fixpunktssats, är en matematisk sats inom analysen, som säger att en kontraktionsavbildning alltid har en unik fixpunkt. Satsen är uppkallad efter Stefan Banach, som formulerade den 1922.[1]

Banachs fixpunktssats[redigera | redigera wikitext]

Antag att X är ett icke-tomt metriskt rum som är fullständigt, och att T:X\to X är en kontraktionsavbildning. T har i så fall en unik fixpunkt. Det existerar således exakt ett element x\in X som uppfyller T(x)=x.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Välj ett godtyckligt  x_0 \in X och konstruera sedan följden  (x_n) genom:

 x_1 = T(x_0)
 x_2 = T(x_1) = T^2(x_0)
 x_n = T(x_{n-1}) = T^n(x_0)

T är en kontraktionsavbildning fås att:

d(x_{n+1}, x_n) = d(T(x_n), T(x_{n-1})) \leq a d(x_n, x_{n-1}) = a d(T(x_{n-1}), T(x_{n-2})) \leq ... \leq a^m d(x_0, x_1)

För godtyckliga naturliga tal m och n med  m < n får vi nu, genom triangelolikheten och att a < 1, att:

d(x_m, x_n) \leq d(x_m, x_{m+1})+d(x_{m+1}, x_{m+2})+...+d(x_{n-1}, x_n) \leq (a^m+a^{m+1}+...+a^{n-1})d(x_0, x_1) = a^m \frac{1-a^{n-m}}{1-a} d(x_0,x_1)
d(x_m, x_n) \leq a^m \frac{1-a^{n-m}}{1-a} d(x_0,x_1) \leq \frac{a^m}{1-a}d(x_0, x_1)

Här kan högerledet göras godtyckligt litet, eftersom d(x_0, x_1) är fixt och a^m \to 0 när  m \to \infty. Detta ger att följden (x_n) är en Cauchyföljd och då X är fullständigt finns det ett gränsvärde x så att x_n \to x.

x är i själva verket fixpunkten för T, då

d(x,T(x)) \leq d(x,x_m) + d(x_m, T(x)) = d(x,x_m) + d(T(x_{m-1}), T(x)) \leq d(x,x_m) + ad(x_{m-1}, x)

eftersom d(x, x_m) och d(x_{m-1},x) kan göras godtyckligt litet för stora m (x_m går mot x ger att avståndet går mot noll).

Antag att det finns en annan fixpunkt för T kallad y, då vi får:

0 \leq d(x,y) = d(T(x), T(y)) \leq ad(x,y).

Men a<1 ger oss att d(x,y)=0, det vill säga x=y.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Banachs fixpunktssats kan användas till att bevisa många andra satser, däribland inversa funktionssatsen och Picard-Lindelöfs sats om existensen av och uniciteten hos lösningar till vissa ordinära differentialekvationer.

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Stefan Banach (1922). ”Sur les opérations dans les ensembles abstracts et leur application aux équations intégrales”. Fundamenta Mathematicae 3: sid. 133-181. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf. Läst 21 mars 2009. 

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 
  • Hille, Einar (1976). Ordinary Differential Equations in the Complex Domain. Dover Publications. ISBN 0-486-69620-0