Barycentriska koordinater

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Inom geometri betecknar barycentriska koordinater (från grekiska βαρύς, barys, "tung" och κέντρον, kentron, "centrum") en uppsättning av n+1 tal, vilka anger en punkts läge i förhållande till en n-dimensionell simplex (sträcka, triangel, tetraeder, etcetera) i det n-dimensionella rummet genom att ange relativa vikter som, om de placeras i hörnen på denna simplex, gör punkten till simplexens geometriska tyngdpunkt. I allmänhet avses läget av en punkt i planet i förhållande till en triangel.[1][2] De skall inte förväxlas med begreppet "barycentrum" som används inom astronomi för att ange den gemensamma tyngdpunkten för en uppsättning himlakroppar (även om begreppet är närbesläktat). Barycentriska koordinater infördes av August Ferdinand Möbius 1827 i Der Barycentrische Calcul.[3]

Barycentriska koordinater skrivs vanligtvis separerade av kolon (exempelvis för en punkt i planet i förhållande till en triangel i samma plan).

Om alla koordinaterna är större än noll ligger punkten innanför simplexens begränsningar och är en eller flera koordinater noll ligger punkten på begränsningarna. Alla koordinater kan inte vara noll. Är någon koordinat negativ ligger punkten utanför simplexen (det motsvarar att en "negativ vikt", eller en "lyftkraft", måste placeras i hörnet). Någon koordinat måste ha ett positivt värde.

De barycentriska koordinaterna är relativa, vilket innebär att endast deras inbördes förhållanden spelar roll: är detsamma som eller .

Med absoluta barycentriska koordinater menas att koordinaterna normerats så att deras summa blir lika med ett. För att normera koordinaterna delar man dem med deras summa. Exempelvis om koordinaterna divideras med summan av dem () får vi de absoluta barycentriska koordinaterna .[4]

Barycentriska koordinater i en dimension[redigera | redigera wikitext]

Figur 1. Endimensionella barycentriska koordinater är väldigt triviala, men mönstret följer med när antalet dimensioner ökar.

Endimensionella barycentriska koordinater beskriver läget av en punkt på en linje i förhållande till en given sträcka på linjen. Låt oss kalla sträckans ändpunkter för och som i figur 1. De barycentriska koordinaterna anger då hur mycket massa vi skall placera i (eller hur mycket kraft vi skall applicera på) respektive för att tyngdpunkten skall befinna sig i relativt sett. Placerar vi all massa i ligger tyngdpunkten i och ligger alltså i och har, exempelvis, koordinaterna (och motsvarande för såklart). För att ange de barycentriska koordinaterna för skall vi alltså beräkna två krafter applicerade i respektive (vilket ger oss koordinaterna ) som ger ett motverkande vridmoment i förhållande till , det vill säga att , vilket ger oss koordinaterna . Eftersom endast koordinaternas relativa värden är av intresse kan vi multiplicera dem med , vilket ger oss de likvärdiga koordinaterna . Dessa kan "normeras" genom att dividera dem med varvid deras summa blir lika med ett. Vi ser att respektive koordinat är proportionell mot det "riktade" avståndet från den andra ändpunkten. I det fall man anger de fakiska avstånden talar man om de homogena barycentriska koordinaterna med avseende på stäckan .[5]

Barycentriska koordinater i två dimensioner[redigera | redigera wikitext]

Figur 2.
Absoluta barycentriska koordinater för vissa punkter i en liksidig respektive rätvinklig triangel.

Tvådimensionella barycentriska koordinater beskriver läget av en punkt i planet i förhållande till en triangel i samma plan (se figur 2). Genom att placera tre "vikter" i de tre triangelhörnen (eller applicera tre krafter på hörnen) skall vi "balansera" triangeln i .

Vi börjar med att placera all vikt i . Därefter balanserar vi vikten längs linjen (i enlighet med resonemanget för endimensionella koordinater) så att vi placerar i och i , varefter vi balanserar vikten i längs genom att flytta till och till .

Detta innebär att fortfarande är tyngdpunkt på , vilket innebär att triangeln forfarande är balanserad i och att all vikt befinner sig fördelad på , eller .

Vi noterar av det ovanstående att . På samma sätt kan vi visa att och .[6]

Detta leder till att (i det fall arean av en deltriangel ligger helt utanför är dess area negativ.) är barycentiska koordinter för , eftersom

och på samma sätt är och .

Detta ger oss att

.

Dessa kallas de homogena barycentriska koordinaterna relativt triangeln .[7][8] Vi kan normera dem genom att dividera var och en av dem med så att deras summa blir lika med ett, vilket ger oss de absoluta barycentriska koordinaterna (vilka även kallas areal coordinates, "areella koordinater", på engelska[9]):

Barycentriska koordinater i tre eller flera dimensioner[redigera | redigera wikitext]

Figur 3.

Det tredimensionella fallet: Analogt med det tvådimensionella fallet (i vilket vikterna i triangelhörnen är proportionella mot respektive "motstående deltriangels" area) är vikten i repektive tetraederhörn proportionell mot volymen av dess "motstående deltetraeders" volym.

Resonemang
Betrakta tetraedern och punkten i figur 3. Placera all vikt i och fördela sedan denna vikt på och så att fortfarande är tyngdpunkt. Den tilldelade vikten i fördelas sedan på hörnen i triangeln (se ovan under två dimensioner) så att denna triangel är balanserad i och varvid tetraedern fortfarande balanserar i . För areorna av deltrianglarna , och gäller
där betecknar vikten i hörnet . Dessa deltrianglar utgör baserna för tetraedrar med det fjärde hörnet i , vilka sålunda har volymer som är proportionella mot bastriangelns yta (och därmed mot vikten i det "motstående triangelhörnet"). På samma sätt är volymerna av de tre tetraedrarna med de tre deltrianglarna som basytor och det fjärde hörnet i proportionella mot vikten i respektive "motstående hörn". Detta ger
.
Det vill säga att vikterna i tetraederhörnen är proportionella mot volymerna av de "motstående deltetraedrarna", vilka har den till hörnet motstående tetraedersidan som basyta och det fjärde hörnet i (detta gäller såklart även för och , vilket ju visas på samma sätt genom att utgå från ett annat hörn och dess motstående tetraedersida).
Punkten har alltså de barycentriska koordinaterna i förhållande till tetraedern . De absoluta barycentriska koordinaterna för är , eftersom deras summa ju är lika med ett.

Fler dimensioner: Ökar vi på antalet dimensioner förfar vi på samma sätt. För fyra dimensioner balanserar vi först mellan ett hörn och skärningspunkten (för linjen genom hörnet och ) med den till hörnet motstående tetraedern, varefter vi balanserar denna tetraeders tilldelade vikt på dess fyra hörn enligt ovan. Vi kan fortsätta att öka på med en dimension i taget på samma sätt. Detta innebär att vi för en n-dimensionell simplex och en punkt får

.
Punkten har de barycentriska koordinaterna i förhållande till simplexen .

Ortsvektorer och kartesiska koordinater[redigera | redigera wikitext]

Figur 4.

I figur 4 visas en triangel och en punkt som har de absoluta barycentriska koordinaterna . Vi noterar att, i enlighet med endimensionella koodinater ovan, och . Därför har vi också att . Om nu triangelhörnen har ortsvektorerna , respektive i förhållande till en punkt får vi (i sista ledet utnyttjas att de absoluta koordinaternas summa är ett):

Från barycentriska till kartesiska koordinater[redigera | redigera wikitext]

Uttrycket för punktens ortsvektor ger direkt att, om triangelhörnen har de kartesiska koordinaterna , respektive , så är de kartesiska koordinaterna för :

Speciellt märker vi att om triangelhörnen har de kartesiska koordinaterna , och så har punkten de absoluta barycentriska koordinaterna .

Från kartesiska till barycentriska koordinater[redigera | redigera wikitext]

Om vi skriver om uttrycken för punktens kartesiska koordinater och utnyttjar att får vi två ekvationer med två obekanta:

vilka har lösningen

och
.
(ur vilka vi även får )

Trilinjära koordinater[redigera | redigera wikitext]

Låt , och beteckna längden av de motstående sidorna till triangelhörnen. En punkt med de trilinjära koordinaterna har då de barycentriska koordinaterna .[10]

Omvänt har därför en punkt med de barycentriska koordinaterna de trilinjära koodinaterna .

De homogena barycentriska koordinaterna motsvaras av de exakta trilinjära koordinaterna .[8]

Bevis
Om är homogena är de alltså lika med , och omvänt är de exakta trilinjära koordinaterna .


Barycentriska koordinater för vissa punkter[redigera | redigera wikitext]

Den geometriska tyngdpunkten[redigera | redigera wikitext]

Triangelns geometriska tyngdpunkt har barycentriska koordinater

Bevis
Beviset följer direkt ur att den geometriska tyngdpunkten är medianernas skärningspunkt och att medianerna delar triangeln i sex likstora trianglar.

Den inskrivna cirkelns medelpunkt[redigera | redigera wikitext]

Den inskrivna cirkelns medelpunkt har barycentriska koordinater som kan skrivas som

Bevis
Den inskrivna cirkelns medelpunkt har samma avstånd till triangelns sidor, dess radie . Radien är lika med deltrianglarnas höjd och de barycentriska koordinaterna är därför

De vidskrivna cirklarnas medelpunkter[redigera | redigera wikitext]

Medelpunkterna för de vidskrivna cirklarna till , och har de barycentriska koordinaterna

,
respektive
.
Bevis
Eftersom medelpunkten för den vidskrivna cirkeln, med radien , till har de trilinjära koordinaterna
har den de barycentriska koordinaterna
i enlighet med avsnittet om trilinjära koordinater ovan. Motsvarande gäller de båda övriga vidskrivna cirklarnas medelpunkter.

Den omskrivna cirkelns medelpunkt[redigera | redigera wikitext]

Figur 5.

Den omskrivna cirkelns medelpunkt har barycentriska koordinater som kan skrivas som

Bevis
Den omskrivna cirkelns medelpunkt har samma avstånd till triangelhörnen, cirkelns radie . Låt vara fotpunkt åt (figur 5). Vi har då
I näst sista ledet utnyttjas randvinkelsatsen. ( är ju en korda i den omskrivna cirkeln och vinkeln i medelpunkten är enligt denna sats dubbelt så stor som vinkeln i en punkt på omkretsen.)
Samma resonemang för de båda andra triangelsidorna ger oss barycentriska koordinater

Ortocentrum[redigera | redigera wikitext]

Ortocentrum har barycentriska koordinater som kan skrivas som

eller

Det andra uttrycket erhålls genom multiplikation med

Bevis
Vi utnyttjar förhållandet mellan barycentriska koordinater och trilinjära koordinater (se avsnittet ovan).
Den omskrivna cirkelns medelpunkt har barycentriska koordinater (se ovan)
och därför trilinjära koordinater
Ortocentrum är isogonalkonjugat till den omskrivna cirkelns medelpunkt och dess trilinjära koordinater är därför
vilka motsvarar de barycentriska koordinaterna

Symmedianpunkten[redigera | redigera wikitext]

Symmedianpunkten har de barycentriska koordinaterna

Bevis
För beviset utnyttjar vi sambandet mellan barycentriska och trilinjära koordinater och att symmedianpunkten är isogonalkonjugat till den geometriska tyngdpunkten.
Den geometriska tyngdpunkten har barycentriska koordinater
vilket motsvarar de trilinjära koordinaterna
Symmedianpunkten har, eftersom den är isogonalkonjugat till den geometriska tyngdpunkten, de trilinjära koordinaterna
vilka motsvarar de barycentriska koordinaterna

Barycentrisk interpolation[redigera | redigera wikitext]

En Gouraud-skuggad triangel i vilken punkternas färg (Röd, Grön, Blå) är (där fR = 100% röd, 0% grön, 0% blå, etcetera).

För en funktion av två variabler, , med de kända värdena , och för hörnen i triangeln kan en linjär interpolation av värdet i en punkt med de absoluta barycentriska koordinaterna göras enligt . Barycentrisk interpolation kan enkelt utsträckas till fler dimenensioner.[11] Genom att skapa ett nät av trianglar (ett såkallat "mesh"), eller simplexar av högre dimension, kan beräkningar göras för större områden (ett exempel är beräkningar av isolinjer eller värden för olika platser i ett nät av väderstationer). Mer förfinade interpolationer kan göras med polynomapproximationer i stället för linjära sådana.[12]

Barycentrisk interpolation och generaliseringar av denna till godtyckliga polygoner och polyedrar används inom flera områden, exempelvis finita elementmetoden (FEM), och speciellt noterbart är applikationer inom datorgrafik för exempelvis skuggning och animation.[13]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Clifford A. Pickover, 2015, 250 milstolpar i matematikens historia från Pythagoras till 57:e dimensionen, sid. 222. ISBN 9789176172629
  2. ^ Weisstein, Eric W., "Barycentric Coordinates", MathWorld. (engelska)
  3. ^ August Ferdinand Möbius, 1817, Der Barycentrische Calcul, Verlag von Johann Ambosius Barth, Leipzig.
  4. ^ Marie-Nicole Gras, 2014, Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers, Forum Geometricorum, 14, sid. 52.
  5. ^ Paul Yiu, 2013, Introduction to the Geometry of the Triangle, sid. 1. Department of Mathematics, Florida Atlantic University.
  6. ^ Med dessa tre uttryck bevisar man dessutom enkelt Cevas sats: .
  7. ^ Paul Yiu, 2000, The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry i "International Journal of Mathematical Education in Science and Technology" 31, sid. 570
  8. ^ [a b] Weisstein, Eric W., "Homogeneous Barycentric Coordinates", MathWorld. (engelska)
  9. ^ Weisstein, Eric W., "Areal Coordinates", MathWorld. (engelska)
  10. ^ Matthew Harvey, 2015, Geometry Illuminated: An Illustrated Introduction to Euclidean and Hyperbolic Plane Geometry, sid. 349. ISBN 9781939512116
  11. ^ Remi Munos, Andrew Moore, 1998, Barycentric Interpolators for Continuous Space & Time Reinforcement Learning i "Proceedings of the 1998 conference on Advances in neural information processing systems II", sid. 1024– 1030, Cambridge, MA, USA, 1999. MIT Press.
  12. ^ Tatiana V. Voitovich, Stefan Vandewalle, Barycentric Interpolation and Exact Integration Formulas for the Finite Volume Element Method i "Numerical analysis and applied mathematcs, AIP Conference Proceedings, 1048", (Simos, T., Psihoyios, G., Tsitouras, C. (Eds.)). International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics. Kos, Grekland, 16 - 20 september 2008", sid. 575-579.
  13. ^ Michael S Floater, Jiři Kosinka, 2010, Barycentric interpolation and mappings on smooth convex domains i "Proceedings of the 14th ACM Symposium on Solid and Physical Modeling - SPM '10".