Begränsad funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Illustration över en begränsad funktion (röd) och en obegränsad funktion (blå).

En begränsad funktion är inom matematik en reell eller komplex funktion f, definierad på någon mängd X, sådan att mängden av funktionsvärdena av f är begränsad mängd. Med andra ord existerar det något tal M så att:

 |f(x)| \leq M

för alla x i X. Begränsade funktioner är av intresse vid beräkning av gränsvärden.

Man säger även att en reellvärd funktion f är uppåt begränsad om det finns ett A så att  f(x) \leq A för alla x i X och att f är nedåt begränsad om det finns ett B så att  f(x) \geq B för alla x i X.

Ett specialfall fås då X är de naturliga talen, då funktionen blir en talföljd  (a_n) som sägs vara begränsad om det existerar något tal M så att  |a_n| \leq M för alla naturliga tal n.

En generalisering av begreppet fås i metriska rum, då en funktion definierad på någon mängd X och tar värden i något metriskt rum Y är begränsad om det i Y existerar ett element a så att det existerar ett tal M d(f(x), a) \leq M för alla x i X.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • Funktionen sinus för de reella talen (dock inte för de komplexa) tar endast värden mellan -1 och 1 och är alltså nedåt begränsad av -1 och uppåt begränsad av 1.
  • Funktionen
 f(x) = \frac{1}{x^2-1}

definierad för alla reella x som inte är -1 eller 1 är inte begränsad, eftersom funktionen växer obegränsat då x går mot 1 eller -1. Om definitionsmängden tas att vara exempelvis intervallet [2, \infty[ är den dock begränsad.