Begränsad funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Exempel på begränsade funktioner:
Röd: nedåt begränsad
Blå: uppåt och nedåt begränsad
Grön: uppåt begränsad

En begränsad funktion är inom matematiken en reell eller komplex funktion f, definierad på någon mängd X, sådan att mängden av f:s funktionsvärden är en begränsad mängd. Med andra ord existerar det något tal M så att:

för alla x i X. Begränsade funktioner är av intresse vid beräkning av gränsvärden.

En reellvärd funktion f sägs vara uppåt begränsad om det finns ett A sådant att för alla x i X och att f är nedåt begränsad om det finns ett B sådant att för alla x i X.

Ett specialfall fås då X är de naturliga talen, då funktionen blir en talföljd som sägs vara begränsad om det existerar något tal M så att för alla naturliga tal n.

En generalisering av begränsade funktioner ges inom metriska rum; om en funktion, definierad på någon mängd X, antar värden i ett metriskt rum Y, är funktionen begränsad om det i Y existerar ett element a sådant att för något M är för alla x i X.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • Funktionen sinus för de reella talen (dock inte för de komplexa) antar endast värden mellan -1 och 1 och är alltså nedåt begränsad av -1 och uppåt begränsad av 1.
  • Funktionen
är definierad för alla reella x som inte är -1 eller 1, är inte begränsad, eftersom funktionen växer obegränsat då x går mot 1 eller -1. Om definitionsmängden tas att vara exempelvis intervallet är den dock begränsad.