Bernoullipolynom

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Bernoullipolynomen är en serie polynom som är relaterade till ett flertal speciella funktioner.

Representationer[redigera | redigera wikitext]

Explicit formel[redigera | redigera wikitext]

B_n(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} B_{n-k} x^k,

n ≥ 0, där Bk är Bernoullitalen. En annan formel som inte innehåller Bernoullitalen är

B_m(x)=
\sum_{n=0}^m \frac{1}{n+1}
\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (x+k)^m.

Genererande funktion[redigera | redigera wikitext]

Bernoullipolynomens genererande funktion är

\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}.

Övrigt[redigera | redigera wikitext]

Bernoullipolynomen är de unika polynomen så att

\int_x^{x+1} B_n(u)\,du = x^n.

De första Bernoullipolynomen[redigera | redigera wikitext]

De första Bernoullipolynomen är

B_0(x)=1\,
B_1(x)=x-1/2\,
B_2(x)=x^2-x+1/6\,
B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\,
B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\,
B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\,
B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}.\,


Differenser och derivator[redigera | redigera wikitext]

Bernoullipolynomens differenser är

\Delta B_n(x) = B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}.\,

Deras derivator är

B_n'(x)=nB_{n-1}(x).\,

Formler[redigera | redigera wikitext]

B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x),\quad n \ge 0,
(-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}\,
 B_n (x) =2^{n-1} \left( B_n \left( \frac{x}{2} \right) + B_n \left( \frac{x+1}{2} \right) \right)
B_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} B_k(x) y^{n-k}
B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)
x^n = \frac {1}{n+1}
\sum_{k=0}^n {n+1 \choose k} B_k (x)


En formel som relaterar Bernoulipolynomen med den fallande fakulteten är

B_{n+1}(x) =  B_{n+1} + \sum_{k=0}^n
\frac{n+1}{k+1}
\left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}
(x)_{k+1}

där B_n=B_n(0) och

\left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\} = S(n,k)

är Stirlingtalen av andra ordningen.


En formel av Zhi-Wei Sun och Hao Pan är följande: om r + s + t = n och x + y + z = 1 är


r[s,t;x,y]_n+s[t,r;y,z]_n+t[r,s;z,x]_n=0,

där

[s,t;x,y]_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k{s \choose k}{t\choose {n-k}}
B_{n-k}(x)B_k(y).

Integraler[redigera | redigera wikitext]

Bernoullipolynomens integral ges av

\int_a^x B_n(t)\,dt =
\frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}.


Integralen för produkten av två Bernoullipolynom över intervallet [0,1] ges av

\int_0^1 B_n(t) B_m(t)\,dt =
(-1)^{n-1} \frac{m! n!}{(m+n)!} B_{n+m}
\quad \mbox { då } m,n \ge 1.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Bernoullital

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Bernoulli polynomials, 6 november 2013.