Bernoullis ekvation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Schematisk bild av förändring av tryck, temperatur, avstånd och hastighet över en rörvidgning

Bernoullis ekvation anger, inom fluidmekanik, att för en friktionsfri strömning sker en ökning av hastigheten hos fluiden samtidigt med en minskning av tryck eller en minskning av vätskans potentiella energi.[1][2] Bernoullis princip är uppkallad efter den schweiziska forskare Daniel Bernoulli som publicerade sin princip i sin bok Hydrodynamica i 1738.[3]

Inkompressibel strömningsekvation[redigera | redigera wikitext]

Tryck och hastighet i en stationär, inkompressibel och friktionsfri strömning längs en strömlinje kan uttryckas enligt följande ekvation under förutsättning att inget värme tillförs fluiden eller axelarbete uträttas:

\dfrac{p}{\rho\cdot g} + \frac{u^2}{2\cdot g} + z = konstant

Enheten för termerna i ekvationen är (m);

p = statiska trycket i enhet (N/m²)

ρ = fluidens densitet i enhet (kg/m3)

g = tyngdaccelerationen i enhet (m/s2)

u = strömningshastigheten i enhet (m/s)

z = höjden över ett horisontalplan som angetts som referensplan i enhet (m).

Ekvationen är känd som Bernoullis ekvation och togs fram av den schweiziske matematikern Daniel Bernoulli som publicerade en av de första böckerna om strömmande fluider år 1738. Ekvationen ovan utvecklades dock ett par år senare.

Betraktas en strömningslinje mellan 2 punkter med olika höjd över ett horisontellt referensplan erhålls vid förlustfri strömning;

\dfrac{p_1}{\rho\cdot g} + \frac{u_1^2}{2\cdot g} + z_1 = \frac{p_2}{\rho\cdot g} + \frac{u_2^2}{2\cdot g} + z_2

Med ekvationen kan man bestämma strömningshastigheten och trycket i varje punkt längs en strömningslinje. Om även strömningsförlusterna mellan punkter 1 och 2 inkluderas utvidgas ekvationen till följande uttryck;

\dfrac{p_1}{\rho\cdot g} + \frac{u_1^2}{2\cdot g} + z_1 = \frac{p_2}{\rho\cdot g} + \frac{u_2^2}{2\cdot g} + z_2 + h_f + h_t

Den näst sista termen hf är strömningsförlusterna som uppstår p.g.a. fluidens viskositet, uttryckt som en höjdförlust i (m). Vid rörströmning tillkommer dessutom tilläggsförluster, ht.

Statiskt, dynamiskt tryck och totalt tryck:

Termen \dfrac{p}{\rho\cdot g} utgör fluidens statiska tryck (tryckpotential).

Termen \dfrac{u^2}{2\cdot g} utgör fluidens dynamiska tryck (hastighetspotential).

Summan av dessa blir fluidens totala tryck eller 'stagnationstryck' (total potential).

Praktiska tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Pitotrör för bestämning av hastigheten för en strömmande fluid

Bernoullis ekvationen ligger till grund för en mängd tekniska tillämpningar inom strömningsmekaniken, alltifrån beräkning av hur mycket energi som kan utvinnas ur ett vattenkraftverk med en viss nivåskillnad mellan vattennivå i vattendammen och turbinhjulets placering till så enkla applikationer som exempelvis Pitot-röret, uppkallat efter Henri Pitot som uppfann en enkel metod för att mäta strömningshastigheten i floden Seine i Paris.

Pitot-röret[redigera | redigera wikitext]

Höjden h, som vätskepelaren i ett pitot-rör stiger över den fria ytan, är ett uttryck för fluidens totala tryck, eftersom hastigheten i pitot-röret är noll.

h = \dfrac {\Delta p}{\rho \cdot g} = \dfrac {u^2}{2 \cdot g}

Genom att mäta höjden h kunde strömningshastigheten i floden bestämmas.

Omvänt kan pitotröret användas för att bestämma en farkosts hastighet relativt en stillastående fluid, för ett flygplan i luften eller för en båt i vattnet, genom att koppla en tryckmätare till röret:

 u = \sqrt{h\cdot 2\cdot g}

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Clancy, L.J., Aerodynamics, Chapter 3.
  2. ^ Batchelor, G.K. (1967), Section 3.5, pp. 156–64.
  3. ^ ”Hydrodynamica”. Britannica Online Encyclopedia. http://www.britannica.com/EBchecked/topic/658890/Hydrodynamica#tab=active~checked%2Citems~checked&title=Hydrodynamica%20–%20Britannica%20Online%20Encyclopedia. Läst 30 oktober 2008. 

Bokreferenser[redigera | redigera wikitext]