Bernoullis olikhet

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Bernoullis olikhet, efter Jakob Bernoulli, är en matematisk olikhet som approximerar exponentiering av 1+x. Den används ofta i bevis av andra olikheter.

Olikheten lyder

för varje heltal n ≥ 0 och varje reellt tal x > −1. Om exponenten n är jämn gäller olikheten för alla reella tal x. En strikt variant av olikheten lyder

för varje heltal n ≥ 2 och varje reellt tal x ≥ −1 med x ≠ 0.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Olikheten kan bevisas med hjälp av induktion:
För n = 0

vilket är sant.

Antag nu att olikheten gäller för n=k:

Då gäller att

från antagandena, då (1 + x) > 0, så

(då kx2 > 0) Detta ger att (1 + x)k+1 > 1 + (k + 1)x, vilket bevisar att antagandet även gäller för n=k+1.

Induktion ger nu att olikheten gäller för alla n > 0.

Generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Exponenten n kan generaliseras till ett godtyckligt reellt tal r enligt följande: om x > −1 är

om r ≤ 0 eller r ≥ 1, och

för 0 ≤ r ≤ 1. Generaliseringen kan visas genom jämförelser av derivatorna. Återigen kräver den strikta varianten av olikheterna att x ≠ 0 och att r ≠ 0, 1.

Man kan även generalisera olikheten till godtyckliga faktorer:

om -1 < xi < 0 gäller för all xi eller xi > 0 för alla xi. Detta bevisas på motsvarande sätt som induktionsbeviset ovan.

Om man låter ui = -xi och -1 ≤ xi ≤ 0 (med andra ord 0 ≤ ui ≤ 1), får man Weierstrass produktolikhet:

Besläktade olikheter[redigera | redigera wikitext]

Följande olikhet begränsar 1 + x upphöjt til r uppåt. För alla reella tal x, r > 0 gäller

där e är basen för naturliga logaritmen Detta kan visas genom att använda olikheten (1 + 1/k)k < e.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.