Bolzanos sats

Bolzanos sats eller satsen om mellanliggande värden är en matematisk sats, som ofta kan användas då man vill undersöka om en ekvation, $f(x)=0\,$, går att lösa. Det enda kravet på funktionen $f\,$ är att den skall vara kontinuerlig.

Bolzanos sats eller satsen om mellanliggande värden

Låt $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ vara en kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$. Antag att funktionsvärdena $f(a)\,$ och $f(b)\,$ är olika. Om $c\,$ är ett tal som ligger mellan talen $f(a)\,$ och $f(b)\,$, så finns det ett motsvarande tal, $x_{c}\,$, som ligger mellan talen $a\,$ och $b\,$ med egenskapen att

$c=f(x_{c})\,$.

Användningar av Bolzanos sats

Vi är intresserade av att lösa ekvationen $f(x)=0\,$, där $f\,$ är en kontinuerlig icke-linjär funktion, exempelvis tredjegradspolynomet

$f(x)=x^{3}-15\,x-4.$

Vi ser att funktionsvärdena $f(3)=-22\,$ och $f(5)=46\,$ är olika och att talet 0 (noll) ligger mellan dem.

Bolzanos sats säger att det finns minst ett tal $x_{0}\,$, som ligger mellan talen 3 och 5, som är sådant att $f(x_{0})=0\,$. Det existerar därför en lösning till ekvationen $f(x)=0\,$ och denna lösning är ett element i det slutna och begränsade intervallet [3,5].

Man kan lokalisera lösningen genom att halvera intervallet [3,5] och undersöka hur funktionsvärdet, $f(4)$, i intervallets mittpunkt förhåller sig till värdena $f(3)$ och $f(5)$ : Om $f(4)\geq 0$, så ligger lösningen till ekvationen någonstans i intervallet [3,4]. Om $f(4)\leq 0$, så ligger lösningen någonstans i intervallet [4,5]; I detta fall råkar det vara så att $f(4)=0\,$, vilket visar att $x=4\,$ är en lösning till tredjegrads-ekvationen

$x^{3}-15\,x-4=0.$

Denna metod att lokalisera lösningar till ekvationer kallas Intervallhalverings-metoden.

Bevis av Bolzanos sats

Vi antar att funktionsvärdet $f(a)\,$ är mindre än $f(b)\,$ och väljer ut ett godtyckligt tal, $c\,$, som ligger mellan dessa värden:

$\,f(a)<c<f(b)\,.$

Associerat med detta tal bildar vi mängden

$M_{c}=\{x\in [a,b]:f(x)<c\}.\,$

(Mängden $M_{c}\,$ är icke-tom, eftersom det innehåller talet $a\,$: $f(a)<c.\,$)

Talet $b\,$ är en övre begränsning till mängden $M_{c}\,$ – Det kan finnas flera övre begränsningar. Vi betecknar med symbolen $x_{c}$ den minsta av alla möjliga övre begränsningar, det vill säga supremum över mängden $M_{c}$:

$x_{c}=\sup M_{c}.\,$

(Supremum existerar eftersom paret $([a,b],<)\,$ är en välordnad mängd.)

Vi skall visa att talet $x_{c}\,$ har den önskade egenskapen att $f(x_{c})=c\,$, genom att utesluta de två övriga möjligheterna $f(x_{c})<c\,$ och $f(x_{c})>c.\,$

Om funktionsvärdet $f(x_{c})<c\,$ så är $f(z)<c\,$ också, om talet $z\,$ ligger tillräckligt nära talet $x_{c}\,$. Anledningen till detta är att funktionen $f\,$ är kontinuerlig i punkten $x_{c}\,$.

Kontinuiteten hos funktionen $f\,$ i punkten $x_{c}\,$ innebär att talet $f(z)\,$ ligger nära talet $f(x_{c})\,$ :

$f(x_{c})-\varepsilon <f(z)<f(x_{c})+\varepsilon ,\,$

om talet $z\,$ ligger tillräckligt nära talet $x_{c}\,$,

$x_{c}-\delta (x_{c},\varepsilon )<z<x_{c}+\delta (x_{c},\varepsilon ).\,$

Vi har tillåtelse att välja det positiva talet $\varepsilon \,$ som vi vill. Om vi väljer det positiva talet $\varepsilon =c-f(x_{c})\,$, så ser vi att $2\,f(x_{c})-c<f(z)<c.\,$

Det går att välja talet $\delta \,$ så litet att det öppna intervallet $(x_{c}-\delta ,\,x_{c}+\delta )\,$ helt ligger innanför det slutna intervallet $[a,b]\,$.

Det finns alltså tal $z\,$ i mängden $M_{c}\,$ med egenskapen att $x_{c}-\delta <z<x_{c}+\delta \,$. Eftersom $z\,$ ligger i mängden $M_{c}\,$, måste $z\,$ vara mindre än varje övre begränsning av $M_{c}\,$, speciellt måste $z\,$ vara mindre än den minsta övre begränsningen av $M_{c}\,$: Talet $\sup M_{c}=x_{c}\,.$ Detta innebär att vi har fått en motsägelse:

Talen $z\,$ besitter de två motstridiga egenskaperna att $z\leq x_{c}\,$ och $z>x_{c}\,.$

Vi måste därför dra slutsatsen att det inte finns sådana tal. Men vi kunde hävda att sådana tal fanns, genom att vi utgick från att funktionsvärdet $f(x_{c})<c\,.$ Därför har vi lyckats visa att olikheten $f(x_{c})<c\,$ inte gäller.

På liknande sätt som i fallet då $f(x_{c})<c\,$, visar man att olikheten $f(x_{c})>c\,$ inte gäller heller. Den enda möjligheten som återstår är att $f(x_{c})=c,\,$ vilket var vad vi ville bevisa.

Eftersom talet $c\in [f(a),f(b)]\,$ var godtyckligt valt, har vi härmed bevisat Bolzanos sats.

Källor

• Folke Eriksson, Eric Larsson och Gösta Wahde (1993). Matematisk analys med tillämpningar: Del 2