Bolzanos sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Bolzanos sats eller satsen om mellanliggande värden är en matematisk sats, som ofta kan användas då man vill undersöka om en ekvation, , går att lösa.

Det enda kravet på funktionen är att den skall vara kontinuerlig. Eftersom de flesta funktioner, som man kommer i kontakt med i praktiken, är kontinuerliga har Bolzanos sats mycket stor användbarhet.

Bolzanos sats eller satsen om mellanliggande värden[redigera | redigera wikitext]

Låt vara en kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall . Antag att funktionsvärdena och är olika. Om är ett tal som ligger mellan talen och , så finns det ett motsvarande tal, , som ligger mellan talen och med egenskapen att

.

Användningar av Bolzanos sats[redigera | redigera wikitext]

Vi är intresserade av att lösa ekvationen , där är en kontinuerlig icke-linjär funktion, exempelvis tredjegradspolynomet

Vi ser att funktionsvärdena och är olika och att talet 0 (noll) ligger mellan dem.

Bolzanos sats säger att det finns minst ett tal , som ligger mellan talen 3 och 5, som är sådant att . Det existerar därför en lösning till ekvationen och denna lösning är ett element i det slutna och begränsade intervallet [3,5].

Man kan lokalisera lösningen genom att halvera intervallet [3,5] och undersöka hur funktionsvärdet, , i intervallets mittpunkt förhåller sig till värdena och  : Om , så ligger lösningen till ekvationen någonstans i intervallet [3,4]. Om , så ligger lösningen någonstans i intervallet [4,5]; I detta fall råkar det vara så att , vilket visar att är en lösning till tredjegrads-ekvationen

Denna metod att lokalisera lösningar till ekvationer kallas Intervallhalverings-metoden.

Bevis av Bolzanos sats[redigera | redigera wikitext]

Vi antar att funktionsvärdet är mindre än och väljer ut ett godtyckligt tal, , som ligger mellan dessa värden:

Associerat med detta tal bildar vi mängden

(Mängden är icke-tom, eftersom det innehåller talet : )

Talet är en övre begränsning till mängden – Det kan finnas flera övre begränsningar. Vi betecknar med symbolen den minsta av alla möjliga övre begränsningar, det vill säga supremum över mängden :

(Supremum existerar eftersom paret är en väl-ordnad mängd.)

Vi skall visa att talet har den önskade egenskapen att , genom att utesluta de två övriga möjligheterna och

Om funktionsvärdet så är också, om talet ligger tillräckligt nära talet . Anledningen till detta är att funktionen är kontinuerlig i punkten .

Kontinuiteten hos funktionen i punkten innebär att talet ligger nära talet  :
om talet ligger tillräckligt nära talet ,
Vi har tillåtelse att välja det positiva talet som vi vill. Om vi väljer det positiva talet , så ser vi att

Det går att välja talet så litet att det öppna intervallet helt ligger innanför det slutna intervallet .

Det finns alltså tal i mängden med egenskapen att . Eftersom ligger i mängden , måste vara mindre än varje övre begränsning av , speciellt måste vara mindre än den minsta övre begränsningen av : Talet Detta innebär att vi har fått en motsägelse:

Talen besitter de två motstridiga egenskaperna att och

Vi måste därför dra slutsatsen att det inte finns sådana tal. Men vi kunde hävda att sådana tal fanns, genom att vi utgick från att funktionsvärdet Därför har vi lyckats visa att olikheten inte gäller.

På liknande sätt som i fallet då , visar man att olikheten inte gäller heller. Den enda möjligheten som återstår är att vilket var vad vi ville bevisa.

Eftersom talet var godtyckligt valt, har vi härmed bevisat Bolzanos sats.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Folke Eriksson, Eric Larsson och Gösta Wahde (1993). Matematisk analys med tillämpningar: Del 2