Boolesk ring

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En Boolesk ring är en ring R sådan att för alla element a, som tillhör R gäller att a² = a, det vill säga elementen är idempotenta.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

En Boolesk ring är kommutativ, vilket kan bevisas med utgångspunkt från dess definition. Låt elementen a och b tillhöra R. Då fås följande:

vilket medför att,

Förenkling ger att, .

Efter det att ekvationens båda led subtraherats med fås att .

Detta samband ger att och även, om ersätts med , att .

Alltså,

varur man får att, och att, .

Således är ringens karakteristik = 2 och den additiva inversen till är , dvs är invers till sig själv.

Ringens kommutativitet ges av att, .

Symmetrisk differens

Om potensmängden till en mängd M, är , där är en delmängd till , så är en boolesk ring med symmetrisk differens , motsvarande det logiska konnektivet XOR, som addition och snitt , motsvarande det logiska konnektivet AND, som multiplikation.

Allmänt gäller att varje Boolesk ring är isomorf med en Boolesk algebra med definitionerna:

.

Med ovanstående räkneregler är en Boolesk algebra. En Boolesk ring och en Boolesk algebra är således ekvivalenta begrepp.[1]

Varje delring och kvotring av en boolesk ring, är en boolesk ring.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Israel Nathan Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, Waltham Massachusetts 1964.
  • John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley, New York 1967.
  • Geoffrey Hunter, Metalogic. An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan, London 1971.
  1. ^ B.L. van der Waerden, Algebra. Springer-Verlag, Berlin 1936.
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.