Bretschneiders formel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Godtycklig konvex fyrhörning

Bretschneiders formel är inom geometrin en formel för beräkning av arean av en godtycklig konvex fyrhörning:[1]

där a, b, c och d är sidlängderna, s är semiperimetern och , är två godtyckligt valda, motstående vinklar.

Formeln gäller för alla konvexa fyrhörningar (oberoende av om dessa är cykliska eller inte) inklusive godtyckliga kvadrater, romber och rektanglar. Formeln tillskrivs Carl Anton Bretschneider från år 1842.

Bretschniders formel med vektorer[redigera | redigera wikitext]

En konvex fyrhörning representerad av vektorerna a, b, c och d så att a + b + c + d = 0. De diagonala vektorerna p = a + b och q = b + c är även de inritade

Alla sidor på fyrhörningen representeras av vektorer så att a + b + c + d = 0.[1]

Inför sedan de diagonala vektorerna p = a + b och q = b + c (se bild).

En fyrhörnings area kan beräknas som beloppet av diagonalernas kryssprodukt dividerat med två enligt

Om båda leden kvadreras fås

där "" indikerar kryssprodukt och "" indikerar skalärprodukt.

Detta kan med hjälp av Lagranges identitet skrivas som

Skalärprodukten av en vektor med sig själv ger kvadraten av vektorns längd, vilket här ger

(1)

Vidare förenkling av ger

Detta insatt i (1) ger

som är lika med

vilket i sin tur kan skrivas som

som är ekvivalent med

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Låt, (se bild)[2]

Godtycklig konvex fyrhörning
och

och

Då är

Insatt i uttrycket för A och kvadrerat:

(1)

Enligt cosinussatsen kan diagonalen skrivas på två sätt:

Likheten ger

Kvadrering ger

Omflyttning och division med 16 ger

vilket adderas till (1):

Som förenklat kan skrivas

Enligt den trigonometriska ettan och

Expansion ger

Termen 8abcd läggs till och dras bort

Faktorisering ger

Omskrivning med semiperimeter:

cosinus för halva vinkeln ger

Roten ur båda leden leder till rätt uttryck

VSV

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ [a b] http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html
  2. ^ http://www.proofwiki.org/wiki/Bretschneider's_Formula