Carlemans olikhet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Carlemans olikhet är en matematisk olikhet namngiven efter Torsten Carleman, som var den förste att publicera olikheten 1923[1].

Låt vara en följd av icke-negativa reella tal. Då gäller det att

Konstanten i olikheten är den bästa möjliga; för mindre konstanter gäller inte olikheten. Om är positiva istället för icke-negativa är olikheten strikt.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Utgå från Hardys olikhet:

ta den inre summan i vänsterledet, ersätt med och skriv om på följande sätt:

Låt och skriv om exponenten som en derivata av den nya variabeln x, som här är noll:

Applicera nu då man får:

Betrakta nu högerledet i Hardys olikhet och utför samma steg, ersätt med och låt p gå mot oändligheten

detta ger oss den icke-strikta varianten av Carlemans olikhet:

Fotnoter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ T. Carleman, Sur les fonctions quasi-analytiques, Conférences faites au cinquième congres des mathématiciens Scandinaves, Helsinki (1923), 181-196.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Maria Johansson, Lars-Erik Persson, Anna Wedestig (2003). ”Carleman's inequality - history, proofs and som new generalizations”. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4 (3). 
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.