Caroltal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Ett caroltal, det andra i ordningen.

Caroltal är ett heltal på formen 4^n - 2^{n + 1} - 1. En ekvivalent formel är (2^n - 1)^2 - 2.

De första Caroltalen är:

−1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527, 4190207, 16769023, 67092479, 268402687, 1073676287, 4294836223, 17179607039, 68718952447, 274876858367, 1099509530623, 4398042316799, 17592177655807, … (talföljd A093112 i OEIS)

Caroltal studerades först av Cletus Emmanuel, som namngav dem efter en vän, Carol G. Kirnon.[1][2]

För n > 2 är den binära representationen av Caroltal av det n:te Caroltalet n − 2 på varandra följande ettor, en nolla i mitten, och n + 1 fler ettor i rad. Det kan uttryckas algebraiskt med:

\sum_{i \ne n + 2}^{2n} 2^{i - 1}.

Så till exempel är 47 lika med 101111 i binära talsystemet och 223 är 11011111 i det binära talsystemet etcetera. Skillnaden mellan det 2n:te Mersennetalet och det n:te Caroltalet är 2^{n + 1}. Detta ger ännu ett ekvivalent uttryck för Caroltal, (2^{2n} - 1) - 2^{n + 1}. Skillnaden mellan det n:te Kyneatalet och det n:te Caroltalet är den (n + 2):te tvåpotensen.

Från och med 7 är vart tredje Caroltal delbart med 7. För ett Caroltal för att också vara ett primtal, dess index n kan inte vara av formen 3x + 2 för x > 0.

De första Caroltalen som även är primtal (Carolprimtal) är:

7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087, … (talföljd A091516 i OEIS)

Från och med juli 2007 är det största Caroltalet som även är primtal n = 253987, och har 152916 siffror.[3][4] Det upptäcktes av [3][4] maj 2007 med hjälp av programmen MultiSieve och PrimeFormGW. Det är det 40:e Carolprimtalet.

Det 7:e Caroltalet och 5:e Carolprimtalet, 16127, är även primtal när dess siffror är omvända (emirp), så det är det lägsta Carolemirp.[5] Det 12:e Caroltalet och 7:e Carolprimtalet, 16769023, är också ett Carolemirp.[6]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Carol number, 20 december 2013.
  1. ^ Cletus Emmanuel at Prime Pages
  2. ^ Message to Yahoo primenumbers group from Cletus Emmanuel
  3. ^ [a b] Entry for 253987th Carol number at Prime Pages
  4. ^ [a b] Carol Primes and Kynea Primes by Steven Harvey
  5. ^ Prime Curios 16127 at Prime Pages
  6. ^ Prime Curios 16769023 at Prime Pages

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]