Cayley–Hamiltons sats

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Cayley-Hamiltons sats)
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Inom linjär algebra innebär Cayley–Hamiltons sats (efter matematikerna Arthur Cayley och William Rowan Hamilton) att varje kvadratisk matris bestående av komplexa eller reella tal uppfyller sin egen karakteristiska ekvation.

Det vill säga: om är en given n×n matris och In  är identitetsmatrisen med dimensionerna n×n, så definieras A:s karakteristiska ekvation som

där "det" betecknar determinanten. Cayley–Hamiltons sats innebär att om ersätts med i den karakteristiska ekvationen erhålls nollmatrisen:

Exempel[redigera | redigera wikitext]

För tvådimensionella matriser fås

I tre dimensioner blir uttrycket

För att ta ett numeriskt lite tydligare exempel. Ta exempelvis matrisen

Karakteristiska ekvationen ges av

Cayley–Hamiltons sats säger att

Vilket snabbt kan verifieras i det här fallet.

Ett resultat av detta är att Cayley–Hamiltons sats kan användas för att beräkna potenser av matriser på ett enklare sätt än att multiplikation.

Om vi tar resultatet ovan och sen skriver om lite får vi

Om vi sen vill beräkna exempelvis A4