Cirkeldelningspolynom

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

I matematik är cirkeldelningspolynomet eller det cyklotomiska polynomet för ett positivt heltal n det moniska minimalpolynomet över Q för en primitiv n:te enhetsrot. Polynomet kan beskrivas som

där ω löper över mängden av primitiva n:te enhetsrötter. Detta antal är precis , där är Eulers φ-funktion. Därför har grad .

De 104 första cirkeldelningspolynomen har bara 1, -1 och 0 som koefficienter. Emellertid är sjundegradskoefficienten liksom fyrtioförstagradskoefficienten i -2.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Om n är ett primtal är

Om n är ett udda heltal större än 1 äe

Om n är ett jämnt heltal är

Speciellt om n=2p med p ett udda primtal är

Om n=pm är en primtalspotens är

Gauss formel[redigera | redigera wikitext]

Låt n vara udda, kvadratfritt och större än 3. Då är[1][2]

där både An(z) och Bn(z) har heltalskoefficenter, An(z) har gard φ(n)/2 och Bn(z) har grad φ(n)/2 − 2. Vidare är An(z) palindromisk då dess grad är jämn; om dess grad är udda är den antipalindromisk. Analogt är Bn(z) palindromisk förutom då n är sammansatt och ≡ 3 (mod 4), då den är antipalindromisk.

De första fallen är

Användningar[redigera | redigera wikitext]

Genom att använda kan man ge ett elementärt bevis av oändligheten av primtal kongruenta 1 modulo n,[3] vilket är ett specialfall av Dirichlets sats om aritmetiska följder.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Gauss, DA, Articles 356-357
  2. ^ Riesel, pp. 315-316, p. 436
  3. ^ S. Shirali. Number Theory. Orient Blackswan, 2004. p. 67. ISBN 81-7371-454-1
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.