Cosinussatsen

Från Wikipedia
Version från den 31 augusti 2014 kl. 23.35 av Dexbot (Diskussion | Bidrag) (Bot: Removing Link FA template)
Hoppa till navigering Hoppa till sök
c ² = a ² + b² - 2ab cos γ

Cosinussatsen relaterar längden av en sida i en godtycklig triangel till längderna av de andra två samt den till sidan motstående vinkeln.

Antag en triangel med sidlängderna a, b och c och med vinklarna α, β och γ:

Triangel-beteckningar.svg

Då gäller att

Om någon vinkel är rät erhålls Pythagoras sats då cosinus för en rät vinkel är 0.

Bevis

Triangle-with-cosines.svg

Om Pythagoras sats tillämpas erhålls

Enligt figuren är

vilket om det insätts i uttrycket för ger

En utveckling av ovanstående uttryck ger till slut

Se även