Cyklisk fyrhörning

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Inskriven-fyrhörning.svg

En cyklisk fyrhörning (även kallad en cirkelfyrhörning) är en fyrhörning som kan inskrivas i en cirkel.

  • För en cyklisk fyrhörning är summan av två motsatta vinklar 180 grader
  • Om i en fyrhörning summan av två motsatta vinklar är 180 grader är fyrhörningen inskrivningsbar i en cirkel
  • Om i en fyrhörning ABCD vinkeln ACD = vinkeln ABD är fyrhörningen inskrivningsbar i en cirkel (det vill säga om vinkeln mellan en sida och en diagonal är lika med vinkeln mellan den motsatta sidan och den andra diagonalen)
  • En fyrhörning är inskrivningsbar i en cirkel om och endast om sidornas mittpunktsnormaler skär varandra i samma punkt (cirkelns medelpunkt - sidorna i en inskriven polygon är ju kordor och dessas mittpunktsnormaler går ju såklart genom medelpunkten)

Area[redigera | redigera wikitext]

Arean A av en cyklisk fyrhörning med sidorna a, b, c, d ges av Brahmaguptas formel

där semiperimetern s är

.

Omskrivna cirkelns radie[redigera | redigera wikitext]

Om den cykliska fyrhörningens sidor betecknas och semiperimetern med är den omskrivna cirkelns radie

Diagonaler[redigera | redigera wikitext]

Enligt Ptolemaios sats är produkten av de två diagonalerna p och q hos en cyklisk fyrhörning lika med summan av produkterna av de motstående sidorna ac och bd:

För en cyklisk fyrhörning med de successiva hörnen A, B, C, D och de successiva sidorna a = AB, b = BC, c = CD, och d = DA och med diagonalerna p = AC och q = BD gäller:

.

Diagonalernas längder kan uttryckas i sidornas längder som

Vinklar[redigera | redigera wikitext]

För en cyklisk fyrhörning med de efter varandra följande sidorna a, b, c, d, semiperimeter s, och vinkeln A mellan sidorna a och d, ges de trigonometriska funktionerna för vinkeln A enligt

För vinkeln mellan diagonalerna gäller

Se även[redigera | redigera wikitext]