Differentierbarhet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Differentierbarhet är inom matematisk analys en lokal egenskap hos en funktion som generaliserar begreppet deriverbarhet till flera dimensioner. Ur differentierbarhet följer kontinuitet och kedjeregeln.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Funktionen säges vara differentierbar i punkten om och endast om det existerar en punkt A i och en funktion sådana att

och

En funktion säges vara differentierbar på en mängd M om funktionen är differentierbar i alla punkter i M.

Det kan observeras att definitionen av differentierbarhet är ekvivalent med definitionen för deriverbarhet om f är en funktion av bara en variabel. För vektorvärda funktioner betraktas komponentfunktionernas differentierbarhet.

Man kan visa i punkten liksom att existensen av kontinuerliga partiella derivator för en funktion implicerar differentierbarhet. Liksom ekvationen för tangenten till funktionen kan utläsas ur definitionen av deriverbarhet beskriver högerledet i definitionen ovan tangentplanet till funktionen i punkten .


Att en funktion är differentierbar innebär att den är deriverbar i alla riktningar. Grafiskt tolkat betyder det att tangentplanet ligger nära funktionsytan. Alla kontinuerliga funktioner är således inte differentierbara.