Dirichlets etafunktion

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Inom matematiken, speciellt inom analytisk talteori, är Dirichlets etafunktion en viktig speciell funktion som definieras som följande Dirichletserie, som konvergerar för alla komplexa tal vars reella del > 0:

Denna Dirichletserie är precis serien för Riemanns zetafunktion förutom att termerna har alternerande tecken. Därför kallas Dirichlets eta-funktion ibland för alternerande zetafunktionen och betecknas med ζ*(s). Följande simpla relation gäller:

Etafunktionen kan även definieras som integralen

Eulerprodukt[redigera | redigera wikitext]

För gäller

Integralrepresentationer[redigera | redigera wikitext]

Det finns ett flertal integralrepresentationer för etafunktionen. Följande formler gäller för

Följande formel kan bevisas med hjälp av Cauchy–Schlömilchs transformation, som gäller för :

Följande formel av Ernst Lindelöf (1905) gäller i hela komplexa planet om man tar det pricipiella värdet av logaritmen.

Följande formel bevisades också av Lindelöf:

En generalisering valid för och alla

Genom att låta får man formeln

En annan integral är

För alla gäller

Serierepresentationer[redigera | redigera wikitext]

Funktionalekvation[redigera | redigera wikitext]

Etafunktionen satisfierar funktionalekvationen

Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

Några specialfall av etafunktionen kan skrivas i sluten form:

OEISA072691

och i allmänhet för positiva heltal n

Några värden för udda argument är

Derivata[redigera | redigera wikitext]

Etafunktionens derivata är

.

Numeriska algoritmer[redigera | redigera wikitext]

Peter Borwein har härlett en effektiv metod för numerisk räkning av etafunktionen. Om

är

där för gäller för feltermen γn

Generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Etafunktionen är ett specialfall av polylogaritmen

vilket gör den även ett specialfall av Lerchs transcendent:

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dirichlet eta function, 13 december 2013.
  • Jensen, J. L. W. V. (1895). L'intermédiaire des Mathématiciens II: sid. 346. 
  • Lindelöf, Ernst (1905). Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions. Gauthier-Villars. sid. 103 
  • Widder, David Vernon (1946). The Laplace Transform. Princeton University Press. sid. 230 
  • Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933)
  • Titchmarsh, E. C. (1986). The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. Oxford University Press.
  • Conrey, J. B. (1989). ”More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line”. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 399: sid. 1–26. doi:10.1515/crll.1989.399.1. 
  • Knopp, Konrad (1990) [1922]. Theory and Application of Infinite Series. Dover. ISBN 0-486-66165-2 
  • Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29–34.
  • Sondow, Jonathan (2002). ”Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula”. 'arXiv:math.CO/0211148'.  Amer. Math. Monthly 112 (2005) 61–65, formula 18.
  • Sondow, Jonathan. ”Zeros of the Alternating Zeta Function on the Line R(s)=1”. 'arXiv:math/0209393'.  Amer. Math. Monthly, 110 (2003) 435–437.
  • Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003). ”Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function”. http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetaevaluations.pdf. 
  • Amdeberhan, T.; Glasser, M. L.; Jones, M. C; Moll, V. H.; Posey, R.; Varela, D. (2010). ”The Cauchy–Schlomilch Transformation”. 'arXiv:1004.2445'.  p. 12.
  • Milgram, Michael S. (2012). ”Integral and Series Representations of Riemann’s Zeta Function, Dirichlet’s Eta Function and a Medley of Related Results”. 'arXiv:1208.3429'. 
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.