Dirichlets etafunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken, speciellt inom analytisk talteori, är Dirichlets etafunktion en viktig speciell funktion som definieras som följande Dirichletserie, som konvergerar för alla komplexa tal vars reella del > 0:

Denna Dirichletserie är precis serien för Riemanns zetafunktion förutom att termerna har alternerande tecken. Därför kallas Dirichlets eta-funktion ibland för alternerande zetafunktionen och betecknas med ζ*(s). Följande simpla relation gäller:

Etafunktionen kan även definieras som integralen

Eulerprodukt[redigera | redigera wikitext]

För gäller

Integralrepresentationer[redigera | redigera wikitext]

Det finns ett flertal integralrepresentationer för etafunktionen. Följande formler gäller för

Följande formel kan bevisas med hjälp av Cauchy–Schlömilchs transformation, som gäller för :

Följande formel av Ernst Lindelöf (1905) gäller i hela komplexa planet om man tar det pricipiella värdet av logaritmen.

Följande formel bevisades också av Lindelöf:

En generalisering valid för och alla

Genom att låta får man formeln

En annan integral är

För alla gäller

Serierepresentationer[redigera | redigera wikitext]

Funktionalekvation[redigera | redigera wikitext]

Etafunktionen satisfierar funktionalekvationen

Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

Några specialfall av etafunktionen kan skrivas i sluten form:

OEISA072691

och i allmänhet för positiva heltal n

Några värden för udda argument är

Derivata[redigera | redigera wikitext]

Etafunktionens derivata är

.

Numeriska algoritmer[redigera | redigera wikitext]

Peter Borwein har härlett en effektiv metod för numerisk räkning av etafunktionen. Om

är

där för gäller för feltermen γn

Generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Etafunktionen är ett specialfall av polylogaritmen

vilket gör den även ett specialfall av Lerchs transcendent:

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dirichlet eta function, 13 december 2013.
  • Jensen, J. L. W. V. (1895). L'intermédiaire des Mathématiciens II: sid. 346. 
  • Lindelöf, Ernst (1905). Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions. Gauthier-Villars. Sid. 103 
  • Widder, David Vernon (1946). The Laplace Transform. Princeton University Press. Sid. 230 
  • Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933)
  • Titchmarsh, E. C. (1986). The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. Oxford University Press.
  • Conrey, J. B. (1989). ”More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line”. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 399: sid. 1–26. doi:10.1515/crll.1989.399.1. 
  • Knopp, Konrad (1990) [1922]. Theory and Application of Infinite Series. Dover. ISBN 0-486-66165-2 
  • Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29–34.
  • Sondow, Jonathan (2002). ”Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula”. 'arXiv:math.CO/0211148'.  Amer. Math. Monthly 112 (2005) 61–65, formula 18.
  • Sondow, Jonathan. ”Zeros of the Alternating Zeta Function on the Line R(s)=1”. 'arXiv:math/0209393'.  Amer. Math. Monthly, 110 (2003) 435–437.
  • Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003). ”Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function”. http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetaevaluations.pdf. 
  • Amdeberhan, T.; Glasser, M. L.; Jones, M. C; Moll, V. H.; Posey, R.; Varela, D. (2010). ”The Cauchy–Schlomilch Transformation”. 'arXiv:1004.2445'.  p. 12.
  • Milgram, Michael S. (2012). ”Integral and Series Representations of Riemann’s Zeta Function, Dirichlet’s Eta Function and a Medley of Related Results”. 'arXiv:1208.3429'. 
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.