Dirichlets etafunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken, speciellt inom analytisk talteori, är Dirichlets etafunktion en viktig speciell funktion som definieras som följande Dirichletserie, som konvergerar för alla komplexa tal vars reella del > 0:

\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \cdots

Denna Dirichletserie är precis serien för Riemanns zeta-funktion förutom att termerna har alternerande tecken. Därför kallas Dirichlets eta-funktion ibland för alternerande zetafunktionen och betecknas med ζ*(s). Följande simpla relation gäller:

\eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s).

Etafunktionen kan även definieras som integralen

\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x+1}{dx}.

Eulerprodukt[redigera | redigera wikitext]

För  \mathrm{Re} s > 1 gäller

 \eta(s) = \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) \prod_{p \ \mathrm{primtal}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p^s}} = \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) \cdot \frac{1}{(1-\frac{1}{2^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{5^s})\cdots} .

Integralrepresentationer[redigera | redigera wikitext]

Det finns ett flertal integralrepresentationer för etafunktionen. Följande formler gäller för \Re s > 0.


\begin{align}
\Gamma(s)\eta(s) & = \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x+1} \, dx
= \int_0^\infty \int_0^x \frac{x^{s-2}}{e^x+1} \, dy \, dx \\[8pt]
& =\int_0^\infty\int_0^\infty \frac{(t+r)^{s-2}}{e^{t+r}+1}{dr} \, dt
=\int_0^1\int_0^1 \frac{(-\log(x y))^{s-2}}{1 + x y} \, dx \, dy.
\end{align}

Följande formel kan bevisas med hjälp av Cauchy–Schlömilchs transformation, som gäller för \Re s > -1:

2^{1-s}\,\Gamma(s+1)\,\eta(s) = 2 \int_0^\infty \frac{x^{2s+1}}{\cosh^2(x^2)} \, dx
= \int_0^\infty \frac{t^s}{\cosh^2(t)} \, dt.

Följande formel av Ernst Leonard Lindelöf (1905) gäller i hela komplexa planet om man tar det pricipiella värdet av logaritmen.

\eta(s) = \int_{-\infty}^\infty \frac{(1/2 + i t)^{-s}}{e^{\pi t}+e^{-\pi t}} \, dt.

Följande formel bevisades också av Lindelöf:

(s-1)\zeta(s) = \int_{-\infty}^\infty \frac{(1/2 + i t)^{1-s}}{(e^{\pi t}+e^{-\pi t})^2} \, dt.

En generalisering valid för 0<c< 1 och alla s

\eta(s) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \frac{(c + i t)^{-s}}{\sin{(\pi(c+i t))}} \, dt.

Genom att låta c\to 0^+ får man formeln

\eta(s) = - \sin(s\pi/2) \int_{0}^\infty \frac{t^{-s}}{\sinh{(\pi t)}} \, dt.

En annan integral är

\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{[-\ln(x y)]^s}{1+xy}\;\mathrm dx\,\mathrm dy=\Gamma(s+2)\eta(s+2).

För alla  s \in \mathbb{C} gäller

 \eta(s) = \frac{2^{s-1} - 1}{s-1} - (2^s - 2) \int \limits_0^\infty \frac{\sin(s \arctan x)}{(1 + x^2)^{s/2} (e^{\pi x} + 1)} \mathrm{d}x.

Serierepresentationer[redigera | redigera wikitext]

\eta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}} 
\sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n \choose k} \frac {1}{(k+1)^s}

Funktionalekvation[redigera | redigera wikitext]

Etafunktionen satisfierar funktionalekvationen

\eta(-s) = 2 \frac{1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}} \pi^{-s-1} s \sin\left({\pi s \over 2}\right) \Gamma(s)\eta(s+1).

Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

Några specialfall av etafunktionen kan skrivas i sluten form:

\eta(2) = {\pi^2 \over 12} OEISA072691
\eta(4) = {{7\pi^4} \over 720} \approx 0.94703283
\eta(6) = {{31\pi^6} \over 30240} \approx 0.98555109
\eta(8) = {{127\pi^8} \over 1209600} \approx 0.99623300
\eta(10) = {{73\pi^{10}} \over 6842880} \approx 0.99903951
\eta(12) = {{1414477\pi^{12}} \over {1307674368000}} \approx 0.99975769

och i allmänhet för positiva heltal n

\eta(2n) = (-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi^{2n}(2^{2n-1} - 1)} \over {(2n)!}}.

Några värden för udda argument är

 \!\ \eta(1) = \ln2
\eta(3)=\frac34\zeta(3)
\eta(5)=\frac{15}{16}\zeta(5).

Derivata[redigera | redigera wikitext]

Etafunktionens derivata är

\eta'(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\ln n}{n^s} = 2^{1-s}\ln 2 \zeta(s)+(1-2^{1-s})\zeta'(s).

Numeriska algoritmer[redigera | redigera wikitext]

Peter Borwein har härlett en effektiv metod för numerisk räkning av etafunktionen. Om

d_k = n\sum_{i=0}^k \frac{(n+i-1)!4^i}{(n-i)!(2i)!}

är

\eta(s) = -\frac{1}{d_n} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k(d_k-d_n)}{(k+1)^s}+\gamma_n(s),

där för \Re(s) \ge \frac{1}{2} gäller för feltermen γn

|\gamma_n(s)| \le \frac{3}{(3+\sqrt{8})^n} (1+2|\Im(s)|)\exp(\frac{\pi}{2}|\Im(s)|).

Generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Etafunktionen är ett specialfall av polylogaritmen

\ \eta(x)=-\mathrm{Li}_x(-1)

vilket gör den även ett specialfall av Lerchs transcendent:

\,\eta(s)=\Phi (-1,s,1).

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dirichlet eta function, 13 december 2013.
  • Jensen, J. L. W. V. (1895). L'intermédiaire des Mathématiciens II: sid. 346. 
  • Lindelöf, Ernst (1905). Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions. Gauthier-Villars. sid. 103 
  • Widder, David Vernon (1946). The Laplace Transform. Princeton University Press. sid. 230 
  • Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933)
  • Titchmarsh, E. C. (1986). The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. Oxford University Press.
  • Conrey, J. B. (1989). ”More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line”. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 399: sid. 1–26. doi:10.1515/crll.1989.399.1. 
  • Knopp, Konrad (1990) [1922]. Theory and Application of Infinite Series. Dover. ISBN 0-486-66165-2 
  • Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29–34.
  • Sondow, Jonathan (2002). ”Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula”. 'arXiv:math.CO/0211148'.  Amer. Math. Monthly 112 (2005) 61–65, formula 18.
  • Sondow, Jonathan. ”Zeros of the Alternating Zeta Function on the Line R(s)=1”. 'arXiv:math/0209393'.  Amer. Math. Monthly, 110 (2003) 435–437.
  • Gourdon, Xavier (2003). ”Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function”. http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetaevaluations.pdf. Okänd parameter medförfattare
  • Amdeberhan, T.; Glasser, M. L.; Jones, M. C; Moll, V. H.; Posey, R.; Varela, D. (2010). ”The Cauchy–Schlomilch Transformation”. 'arXiv:1004.2445'.  p. 12.
  • Milgram, Michael S. (2012). ”Integral and Series Representations of Riemann’s Zeta Function, Dirichlet’s Eta Function and a Medley of Related Results”. 'arXiv:1208.3429'. 
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.